Страница 58 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

173. Диагональ куба равна $4\sqrt{3}$ см. Найдите площадь его диагонального сечения.

Обозначим длину ребра куба как $a$. Диагональ куба $D$ связана с длиной его ребра по формуле, которая выводится из теоремы Пифагора дважды: $D^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$. Следовательно, $D = a\sqrt{3}$.

По условию задачи, диагональ куба $D = 4\sqrt{3}$ см. Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти длину ребра куба $a$:

$a\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

$a = 4$ см.

Диагональное сечение куба — это прямоугольник, сторонами которого являются ребро куба $a$ и диагональ грани куба $d$.

Найдем диагональ грани куба. Грань куба является квадратом со стороной $a$. По теореме Пифагора, диагональ квадрата $d$ вычисляется как:

$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Подставив значение $a = 4$ см, получим:

$d = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь мы можем найти площадь диагонального сечения $S$, которая равна произведению его сторон $a$ и $d$:

$S = a \cdot d = 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $16\sqrt{2}$ см$^2$.

174. Основание прямого параллелепипеда — ромб со стороной 4 см и углом $60^\circ$. Найдите большую диагональ параллелепипеда, если его высота равна 3 см.

Пусть дан прямой параллелепипед, в основании которого лежит ромб со стороной $a = 4$ см и острым углом $\alpha = 60^\circ$. Высота параллелепипеда $h = 3$ см. Необходимо найти большую диагональ параллелепипеда $D_{большая}$.

1. Сначала найдем диагонали ромба. У ромба два угла равны $60^\circ$, а два других равны $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Большая диагональ ромба ($d_{большая}$) лежит напротив большего (тупого) угла, а меньшая ($d_{меньшая}$) — напротив меньшего (острого) угла.

Для нахождения длин диагоналей воспользуемся теоремой косинусов для треугольников, образованных двумя сторонами ромба и одной из его диагоналей.

Для меньшей диагонали, лежащей напротив угла $60^\circ$:

$d_{меньшая}^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(60^\circ)$

$d_{меньшая}^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 16 - 16 = 16$

$d_{меньшая} = \sqrt{16} = 4$ см.

Для большей диагонали, лежащей напротив угла $120^\circ$:

$d_{большая}^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)$

$d_{большая}^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = 16 + 16 + 16 = 48$

$d_{большая} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Теперь найдем большую диагональ параллелепипеда. Квадрат диагонали прямого параллелепипеда равен сумме квадрата его высоты и квадрата соответствующей диагонали основания. Чтобы найти большую диагональ параллелепипеда, нужно использовать большую диагональ основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются большая диагональ основания $d_{большая}$ и высота параллелепипеда $h$, а гипотенузой — большая диагональ параллелепипеда $D_{большая}$. По теореме Пифагора:

$D_{большая}^2 = d_{большая}^2 + h^2$

$D_{большая}^2 = (4\sqrt{3})^2 + 3^2 = 48 + 9 = 57$

$D_{большая} = \sqrt{57}$ см.

Ответ: $\sqrt{57}$ см.

175. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, площадь которого равна $120 \text{ см}^2$. Найдите высоту параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны $40 \text{ см}^2$ и $96 \text{ см}^2$.

Пусть $h$ — искомая высота прямого параллелепипеда, а $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба, лежащего в его основании.

Площадь ромба вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{1}{2}d_1d_2$. Согласно условию задачи, площадь основания равна $120 \text{ см}^2$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:
$\frac{1}{2}d_1d_2 = 120$
$d_1d_2 = 240$

Диагональные сечения прямого параллелепипеда представляют собой прямоугольники. Площадь первого диагонального сечения, построенного на диагонали $d_1$, равна $S_1 = d_1h$. Площадь второго диагонального сечения, построенного на диагонали $d_2$, равна $S_2 = d_2h$.

По условию, площади этих сечений равны $40 \text{ см}^2$ и $96 \text{ см}^2$. Это дает нам еще два уравнения:
$d_1h = 40$
$d_2h = 96$

Теперь у нас есть система из трех уравнений. Чтобы найти $h$, перемножим второе и третье уравнения:
$(d_1h) \cdot (d_2h) = 40 \cdot 96$
$d_1d_2 \cdot h^2 = 3840$

Мы уже знаем из первого уравнения, что $d_1d_2 = 240$. Подставим это значение в полученное выражение:
$240 \cdot h^2 = 3840$

Теперь решим это уравнение относительно $h$:
$h^2 = \frac{3840}{240} = \frac{384}{24} = 16$
Поскольку высота является положительной величиной, извлекаем квадратный корень:
$h = \sqrt{16} = 4$

Таким образом, высота параллелепипеда равна 4 см.

Ответ: 4 см.

176. Основанием параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат, а боковое ребро $AA_1$ образует с каждым из рёбер $AB$ и $AD$ угол $60^\circ$. Найдите высоту параллелепипеда, если его боковое ребро равно 12 см.

Пусть $h$ – высота параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Высота представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из любой точки верхнего основания на плоскость нижнего основания. Опустим перпендикуляр $A_1H$ из вершины $A_1$ на плоскость основания $(ABCD)$. Тогда $h = A_1H$.

По условию, основанием параллелепипеда является квадрат $ABCD$. Это означает, что ребра $AB$ и $AD$ взаимно перпендикулярны ($AB \perp AD$). Боковое ребро $AA_1$ образует с каждым из этих ребер угол $60^\circ$. Обозначим эти углы как $\alpha = \angle A_1AB = 60^\circ$ и $\beta = \angle A_1AD = 60^\circ$. Длина бокового ребра $AA_1 = 12$ см.

Пусть $\gamma$ – угол между боковым ребром $AA_1$ (наклонной) и плоскостью основания $(ABCD)$. Этот угол равен $\angle A_1AH$. Высоту параллелепипеда можно найти по формуле: $h = AA_1 \cdot \sin(\gamma)$.

Для наклонной к плоскости существует соотношение между углами, которые она образует с двумя взаимно перпендикулярными прямыми в этой плоскости ($\alpha$ и $\beta$), и углом, который она образует с самой плоскостью ($\gamma$):

$\cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \sin^2(\gamma) = 1$

Подставим известные значения углов $\alpha$ и $\beta$:

$\cos^2(60^\circ) + \cos^2(60^\circ) + \sin^2(\gamma) = 1$

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \sin^2(\gamma) = 1$

$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \sin^2(\gamma) = 1$

$\frac{1}{2} + \sin^2(\gamma) = 1$

Отсюда находим $\sin^2(\gamma)$:

$\sin^2(\gamma) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Поскольку $\gamma$ – острый угол, его синус положителен:

$\sin(\gamma) = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь мы можем вычислить высоту параллелепипеда:

$h = AA_1 \cdot \sin(\gamma) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.

Пирамида

177. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 12 см, а высота — 2 см. Найдите апофему пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде основанием является равносторонний треугольник. Апофема пирамиды (обозначим её $h_a$) — это высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды на сторону основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды ($H$), проекцией апофемы на основание и самой апофемой. Проекцией апофемы на основание является радиус вписанной в основание окружности ($r$). В этом треугольнике:

• Высота пирамиды $H=2$ см — один катет.
• Радиус вписанной окружности $r$ — второй катет.
• Апофема $h_a$ — гипотенуза.

1. Сначала найдем радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник в основании. Сторона основания $a = 12$ см. Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ Подставим наши значения: $r = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$ Избавимся от иррациональности в знаменателе: $r = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Теперь, используя теорему Пифагора, найдем апофему $h_a$: $h_a^2 = H^2 + r^2$ Подставим значения высоты $H=2$ см и радиуса $r=2\sqrt{3}$ см: $h_a^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2$ $h_a^2 = 4 + 4 \cdot 3$ $h_a^2 = 4 + 12$ $h_a^2 = 16$ $h_a = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

178. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 17 см, а сторона основания — 16 см. Найдите высоту пирамиды.

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду. В основании такой пирамиды лежит правильный четырёхугольник, то есть квадрат. Высота пирамиды опускается из её вершины в центр основания (точку пересечения диагоналей квадрата).

Обозначим сторону основания как $a$, апофему как $l$ и высоту пирамиды как $H$. По условию задачи:

• Апофема $l = 17$ см.
• Сторона основания $a = 16$ см.

Апофема правильной пирамиды — это высота её боковой грани. Высота пирамиды, её апофема и отрезок, соединяющий центр основания с серединой стороны основания, образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• гипотенуза — это апофема $l$;
• один катет — это высота пирамиды $H$;
• второй катет — это отрезок, соединяющий центр квадрата с серединой его стороны. Длина этого отрезка равна половине стороны основания, то есть $a/2$.

Вычислим длину второго катета:

Катет = $a/2 = 16 / 2 = 8$ см.

Теперь по теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника можем найти высоту $H$. Теорема Пифагора гласит: $H^2 + (a/2)^2 = l^2$.

Выразим отсюда высоту $H$:

$H^2 = l^2 - (a/2)^2$

Подставим известные значения:

$H^2 = 17^2 - 8^2$

$H^2 = 289 - 64$

$H^2 = 225$

$H = \sqrt{225}$

$H = 15$ см.

Ответ: 15 см.

179. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 12 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если оно образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

Пусть дана правильная треугольная пирамида, в основании которой лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 12$ см. Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $O$ — центр основания.

Поскольку пирамида правильная, её высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания. Угол между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания — это угол между этим ребром и его проекцией на плоскость. Проекцией ребра $SA$ на плоскость основания $ABC$ является отрезок $OA$.

Таким образом, угол, о котором говорится в условии, — это угол $\angle SAO$. По условию, $\angle SAO = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SAO$. Он является прямоугольным, так как $SO$ — высота и $\angle SOA = 90^\circ$. В этом треугольнике:

• $SA$ — гипотенуза (искомое боковое ребро).
• $OA$ — катет, прилежащий к углу $30^\circ$.
• $SO$ — катет, противолежащий углу $30^\circ$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике имеем:$\cos(\angle SAO) = \frac{OA}{SA}$

Отсюда, длина бокового ребра $SA$ равна:$SA = \frac{OA}{\cos(30^\circ)}$

Теперь необходимо найти длину отрезка $OA$. Точка $O$ является центром равностороннего треугольника $ABC$, а $OA$ — это радиус $R$ окружности, описанной около этого треугольника. Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $a = 12$ см:$OA = R = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная $OA = 4\sqrt{3}$ см и $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, мы можем вычислить длину бокового ребра $SA$:$SA = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Ответ: $8$ см.

180. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 10 см, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $60^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S и основанием ABCD. Так как пирамида правильная, в её основании лежит квадрат ABCD, а высота SO опускается в центр этого квадрата (точку пересечения диагоналей O).

По условию, сторона основания (квадрата) равна $a = 10$ см. Угол между боковым ребром (например, SA) и плоскостью основания (ABCD) равен $60^\circ$.

Углом между прямой и плоскостью является угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Проекцией бокового ребра SA на плоскость основания ABCD является отрезок AO. Следовательно, угол $\angle SAO = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SOA$. Он является прямоугольным, так как высота пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, а значит, и отрезку AO. Таким образом, $\angle SOA = 90^\circ$. В этом треугольнике:

• SO — высота пирамиды $h$ (искомая величина).
• AO — половина диагонали квадрата ABCD.
• $\angle SAO = 60^\circ$.

Сначала найдём длину диагонали AC квадрата ABCD. По формуле диагонали квадрата $d = a\sqrt{2}$: $AC = 10\sqrt{2}$ см.

Точка O является серединой диагонали AC, поэтому: $AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$ мы можем найти высоту SO, используя тангенс угла $\angle SAO$: $\text{tg}(\angle SAO) = \frac{SO}{AO}$

Подставим известные значения: $\text{tg}(60^\circ) = \frac{h}{5\sqrt{2}}$

Зная, что $\text{tg}(60^\circ) = \sqrt{3}$, получим: $\sqrt{3} = \frac{h}{5\sqrt{2}}$

Отсюда выражаем высоту $h$: $h = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{6}$ см.

Ответ: $5\sqrt{6}$ см.

181. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 24 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида, в основании которой лежит равносторонний треугольник ABC со стороной $a = 24$ см. Пусть S – вершина пирамиды, а SO – ее высота, где O – центр основания.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания – это двугранный угол. Для нахождения его линейного угла проведем апофему SM (высоту боковой грани SBC), где M – середина стороны BC. В правильной пирамиде апофема перпендикулярна стороне основания, то есть $SM \perp BC$. В основании проведем отрезок OM. Так как O – центр правильного треугольника, то OM является частью высоты (и медианы) AM и также перпендикулярен стороне BC.

Следовательно, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между боковой гранью SBC и основанием ABC. По условию задачи, $\angle SMO = 30°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90°$, так как SO – высота пирамиды). В этом треугольнике:
- катет $SO$ – искомая высота пирамиды $H$;
- катет $OM$ – радиус $r$ окружности, вписанной в треугольник основания ABC;
- $\angle SMO = 30°$.

Сначала найдем длину катета $OM$. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$Подставляя значение $a = 24$ см, получаем:$OM = r = \frac{24}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle SOM$ найдем высоту $H = SO$. Соотношение между катетами и углом в прямоугольном треугольнике выражается через тангенс:$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM}$Отсюда выражаем высоту $H$:$H = SO = OM \cdot \tan(30°)$Подставляем известные значения ($OM = 4\sqrt{3}$ см и $\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$):$H = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

182. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 14 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат. Обозначим пирамиду как SABCD, где S — вершина, а ABCD — квадратное основание. Пусть O — центр основания (точка пересечения диагоналей). SO — высота пирамиды.

Апофема правильной пирамиды — это высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды. Проведём апофему SM к стороне основания CD. По условию, её длина $SM = 14$ см.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это двугранный угол при ребре основания. Для его измерения построим линейный угол. Отрезок OM соединяет центр квадрата O и середину стороны CD. В квадрате ABCD отрезок OM перпендикулярен стороне CD ($OM \perp CD$). По определению апофемы, $SM \perp CD$.

Поскольку два перпендикуляра к одной прямой (CD) проведены в разных плоскостях (основания и боковой грани), угол между этими перпендикулярами и есть линейный угол двугранного угла. Таким образом, $\angle SMO$ — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. По условию, $\angle SMO = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник SOM. Так как SO — высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и OM. Следовательно, треугольник SOM — прямоугольный с прямым углом $\angle SOM$.

В этом прямоугольном треугольнике нам известны гипотенуза SM (апофема) и острый угол $\angle SMO$. Мы можем найти катет OM, который является проекцией апофемы на плоскость основания.

Используем определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике:
$\cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM}$
Отсюда выразим OM:
$OM = SM \cdot \cos(\angle SMO)$
Подставим известные значения:
$OM = 14 \cdot \cos(60^\circ)$
Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$OM = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7$ см.

Так как в основании пирамиды лежит квадрат ABCD, а точка O является его центром, то расстояние от центра до середины стороны (OM) равно половине длины стороны квадрата. Пусть сторона основания $a = CD$. Тогда:
$OM = \frac{a}{2}$

Теперь мы можем найти сторону основания $a$:
$7 = \frac{a}{2}$
$a = 7 \cdot 2 = 14$ см.

Ответ: 14 см.