Страница 53 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. Плоскости $\beta$ и $\varphi$ перпендикулярны и пересекаются по прямой $m$. Плоскость $\alpha$ пересекает плоскости $\beta$ и $\varphi$ соответственно по прямым $n$ и $p$, параллельным прямой $m$. Найдите расстояние между прямыми $n$ и $p$, если расстояние от прямой $m$ до плоскости $\alpha$ равно 9 см, а расстояние между прямыми $m$ и $n$ — 15 см.

Поскольку плоскости $ \beta $ и $ \varphi $ перпендикулярны ($ \beta \perp \varphi $) и пересекаются по прямой $m$, а плоскость $ \alpha $ пересекает их по прямым $n$ и $p$, параллельным прямой $m$, то все три прямые $m$, $n$ и $p$ параллельны друг другу ($m \parallel n \parallel p$).

Расстояние между параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Построим плоскость $ \gamma $, перпендикулярную прямой $m$. Так как $n \parallel m$ и $p \parallel m$, то плоскость $ \gamma $ будет также перпендикулярна прямым $n$ и $p$.

Пусть плоскость $ \gamma $ пересекает прямые $m$, $n$ и $p$ в точках $M$, $N$ и $P$ соответственно.

Точка $M$ принадлежит прямой $m$, которая является линией пересечения плоскостей $ \beta $ и $ \varphi $.

Точка $N$ принадлежит прямой $n$, которая лежит в плоскости $ \beta $ ($n \subset \beta$). Следовательно, отрезок $MN$ лежит в плоскости $ \beta $.

Точка $P$ принадлежит прямой $p$, которая лежит в плоскости $ \varphi $ ($p \subset \varphi$). Следовательно, отрезок $MP$ лежит в плоскости $ \varphi $.

Поскольку плоскости $ \beta $ и $ \varphi $ перпендикулярны, а отрезки $MN$ и $MP$ лежат в этих плоскостях и оба перпендикулярны их линии пересечения $m$ (по построению плоскости $ \gamma $), то угол между отрезками $MN$ и $MP$ равен $90^\circ$. Таким образом, треугольник $ \triangle MNP $ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

В этом треугольнике:

• Катет $MN$ — это расстояние между прямыми $m$ и $n$. По условию, $MN = 15$ см.
• Гипотенуза $NP$ — это искомое расстояние между прямыми $n$ и $p$.

Расстояние от прямой $m$ до плоскости $ \alpha $ равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой $m$ на плоскость $ \alpha $. Опустим перпендикуляр из точки $M$ на плоскость $ \alpha $. Так как прямая $NP$ лежит в плоскости $ \alpha $, то основание этого перпендикуляра, точка $H$, будет лежать на прямой $NP$. Таким образом, $MH$ — это высота прямоугольного треугольника $ \triangle MNP $, проведенная к гипотенузе. По условию, $MH = 9$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle MNP $. У нас есть катет $MN = 15$ см и высота к гипотенузе $MH = 9$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle MNH $ (с прямым углом $H$). По теореме Пифагора: $MN^2 = MH^2 + NH^2$

$15^2 = 9^2 + NH^2$

$225 = 81 + NH^2$

$NH^2 = 225 - 81 = 144$

$NH = \sqrt{144} = 12$ см.

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу: $MH^2 = NH \cdot PH$

$9^2 = 12 \cdot PH$

$81 = 12 \cdot PH$

$PH = \frac{81}{12} = \frac{27}{4} = 6,75$ см.

Искомое расстояние между прямыми $n$ и $p$ равно длине гипотенузы $NP$: $NP = NH + PH = 12 + 6,75 = 18,75$ см.

Ответ: 18,75 см.

136. Концы отрезка лежат в двух перпендикулярных плоскостях. Проекции отрезка на данные плоскости равны 20 см и 16 см. Расстояние между основаниями перпендикуляров, проведённых из концов отрезка к линии пересечения плоскостей, равно 12 см. Найдите длину данного отрезка.

Решение:

Давайте введем систему координат для решения этой задачи. Пусть две перпендикулярные плоскости будут плоскостями $OXY$ и $OXZ$. Их линия пересечения — это ось $OX$.

Пусть отрезок, длину которого нам нужно найти, это отрезок $AB$. По условию, его концы лежат в этих плоскостях. Пусть точка $A$ лежит в плоскости $OXY$, а точка $B$ — в плоскости $OXZ$.

Тогда координаты этих точек можно записать в общем виде:

• $A = (x_A, y_A, 0)$
• $B = (x_B, 0, z_B)$

Длина отрезка $AB$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (0 - y_A)^2 + (z_B - 0)^2} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + y_A^2 + z_B^2}$

Теперь воспользуемся данными из условия задачи, чтобы найти значения компонент этой формулы.

1. Проекция отрезка на плоскость $OXY$.

Точка $A$ уже лежит в этой плоскости, поэтому ее проекция — это она сама. Проекцией точки $B(x_B, 0, z_B)$ на плоскость $OXY$ будет точка $B'(x_B, 0, 0)$. Тогда проекцией отрезка $AB$ на плоскость $OXY$ является отрезок $AB'$. Длина этого отрезка по условию равна 20 см.

$AB'^2 = (x_B - x_A)^2 + (0 - y_A)^2 + (0 - 0)^2 = (x_B - x_A)^2 + y_A^2$

Получаем первое уравнение:

$(x_B - x_A)^2 + y_A^2 = 20^2 = 400$

2. Проекция отрезка на плоскость $OXZ$.

Точка $B$ уже лежит в этой плоскости. Проекцией точки $A(x_A, y_A, 0)$ на плоскость $OXZ$ будет точка $A'(x_A, 0, 0)$. Тогда проекцией отрезка $AB$ на плоскость $OXZ$ является отрезок $A'B$. Длина этого отрезка по условию равна 16 см.

$A'B^2 = (x_B - x_A)^2 + (0 - 0)^2 + (z_B - 0)^2 = (x_B - x_A)^2 + z_B^2$

Получаем второе уравнение:

$(x_B - x_A)^2 + z_B^2 = 16^2 = 256$

3. Расстояние между основаниями перпендикуляров.

Основание перпендикуляра, проведенного из точки $A(x_A, y_A, 0)$ к линии пересечения плоскостей (оси $OX$), — это точка $A_{ox}(x_A, 0, 0)$.

Основание перпендикуляра, проведенного из точки $B(x_B, 0, z_B)$ к оси $OX$, — это точка $B_{ox}(x_B, 0, 0)$.

Расстояние между этими основаниями по условию равно 12 см.

$A_{ox}B_{ox} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = |x_B - x_A|$

Получаем третье соотношение:

$(x_B - x_A)^2 = 12^2 = 144$

Теперь мы можем найти неизвестные компоненты $y_A^2$ и $z_B^2$, подставив значение $(x_B - x_A)^2 = 144$ в уравнения (1) и (2):

Из уравнения (1):

$144 + y_A^2 = 400$

$y_A^2 = 400 - 144 = 256$

Из уравнения (2):

$144 + z_B^2 = 256$

$z_B^2 = 256 - 144 = 112$

Наконец, найдем квадрат длины отрезка $AB$, подставив все найденные значения:

$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + y_A^2 + z_B^2 = 144 + 256 + 112 = 512$

Теперь найдем саму длину отрезка $AB$:

$AB = \sqrt{512} = \sqrt{256 \cdot 2} = 16\sqrt{2}$ см.

Ответ: $16\sqrt{2}$ см.

137. Концы отрезка $AB$, длина которого равна $2\sqrt{2}$ см, лежат в перпендикулярных плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Из точек $A$ и $B$ опущены перпендикуляры $AA_1$ и $BB_1$ на линию пересечения плоскостей, $AB_1 = \sqrt{6}$ см, $AA_1 = 2$ см. Найдите углы, которые образует отрезок $AB$ с плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Угол, который образует отрезок AB с плоскостью $\alpha$
Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, и $BB_1$ — перпендикуляр, опущенный из точки $B \in \beta$ на линию их пересечения, то $BB_1$ перпендикулярен всей плоскости $\alpha$.Следовательно, проекцией точки $B$ на плоскость $\alpha$ является точка $B_1$. Проекцией точки $A$, лежащей в плоскости $\alpha$, является сама точка $A$.Таким образом, проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $AB_1$.Искомый угол — это угол между наклонной $AB$ и ее проекцией $AB_1$, то есть $\angle BAB_1$.Так как $BB_1 \perp \alpha$, то треугольник $\triangle BAB_1$ — прямоугольный ($\angle AB_1B = 90^\circ$).По теореме Пифагора найдем длину катета $BB_1$:$BB_1 = \sqrt{AB^2 - AB_1^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{8 - 6} = \sqrt{2}$ см.Синус искомого угла равен отношению противолежащего катета $BB_1$ к гипотенузе $AB$:$\sin(\angle BAB_1) = \frac{BB_1}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.Следовательно, угол отрезка $AB$ с плоскостью $\alpha$ равен $30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$.

Угол, который образует отрезок AB с плоскостью $\beta$
Аналогично, так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, а $AA_1$ — перпендикуляр из точки $A \in \alpha$ на их линию пересечения, то $AA_1$ перпендикулярен всей плоскости $\beta$.Следовательно, проекцией точки $A$ на плоскость $\beta$ является точка $A_1$. Проекцией точки $B$, лежащей в плоскости $\beta$, является сама точка $B$.Проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\beta$ является отрезок $A_1B$.Искомый угол — это угол между наклонной $AB$ и ее проекцией $A_1B$, то есть $\angle ABA_1$.Так как $AA_1 \perp \beta$, то треугольник $\triangle ABA_1$ — прямоугольный ($\angle AA_1B = 90^\circ$).Синус искомого угла равен отношению противолежащего катета $AA_1$ к гипотенузе $AB$:$\sin(\angle ABA_1) = \frac{AA_1}{AB} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.Следовательно, угол отрезка $AB$ с плоскостью $\beta$ равен $45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

138. Прямоугольник $ABCD$ перегнули по диагонали $BD$ так, что плоскости $ABD$ и $CBD$ оказались перпендикулярными. Найдите расстояние между точками $A$ и $C$ в новом положении, если $AB = 30$ см, $BD = 50$ см.

Рис. 64

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, то треугольник $ABD$ является прямоугольным с гипотенузой $BD$. По теореме Пифагора найдем длину катета $AD$:

$AD^2 = BD^2 - AB^2$

$AD = \sqrt{50^2 - 30^2} = \sqrt{2500 - 900} = \sqrt{1600} = 40$ см.

После сгибания прямоугольника по диагонали $BD$ мы получили два треугольника $ABD$ и $CBD$, лежащие в перпендикулярных плоскостях. Для нахождения расстояния между точками $A$ и $C$ в новом положении, опустим из этих точек перпендикуляры на линию сгиба $BD$.

Пусть $AH$ — высота прямоугольного треугольника $ABD$, проведенная из вершины прямого угла $A$ к гипотенузе $BD$. Площадь треугольника $ABD$ можно вычислить двумя способами:

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600$ см$^2$.

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH$.

Приравнивая эти два выражения, находим $AH$:

$AH = \frac{2 \cdot S_{\triangle ABD}}{BD} = \frac{2 \cdot 600}{50} = 24$ см.

Аналогично, в треугольнике $CBD$ проведем высоту $CK$ к гипотенузе $BD$. Так как треугольники $ABD$ и $CDB$ равны (по трем сторонам, ведь $CD=AB$ и $BC=AD$), то их высоты, проведенные к общей гипотенузе $BD$, также равны: $CK = AH = 24$ см.

Теперь найдем положение оснований этих высот, точек $H$ и $K$, на диагонали $BD$.

Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора:

$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{30^2 - 24^2} = \sqrt{900 - 576} = \sqrt{324} = 18$ см.

Из прямоугольного треугольника $CDK$ (где $CD=AB=30$ см) по теореме Пифагора:

$DK = \sqrt{CD^2 - CK^2} = \sqrt{30^2 - 24^2} = \sqrt{900 - 576} = \sqrt{324} = 18$ см.

Расстояние между точками $H$ и $K$ на отрезке $BD$ будет равно:

$HK = BD - BH - DK = 50 - 18 - 18 = 14$ см.

По условию, плоскости $(ABD)$ и $(CBD)$ перпендикулярны. Так как отрезок $AH$ лежит в плоскости $(ABD)$ и перпендикулярен линии пересечения плоскостей $BD$ ($AH \perp BD$), то $AH$ перпендикулярен всей плоскости $(CBD)$. Это означает, что $AH$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, прямой $HC$. Таким образом, треугольник $AHC$ — прямоугольный, с прямым углом $\angle AHC$.

Теперь найдем квадрат длины катета $HC$. Отрезок $HC$ — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике $CKH$ (так как $CK \perp BD$, то $\angle CKH = 90^\circ$), который лежит в плоскости $(CBD)$. По теореме Пифагора:

$HC^2 = CK^2 + HK^2 = 24^2 + 14^2 = 576 + 196 = 772$.

Наконец, найдем искомое расстояние $AC$ из прямоугольного треугольника $AHC$:

$AC^2 = AH^2 + HC^2 = 24^2 + 772 = 576 + 772 = 1348$.

$AC = \sqrt{1348} = \sqrt{4 \cdot 337} = 2\sqrt{337}$ см.

Ответ: $2\sqrt{337}$ см.

139. Плоскости квадратов $ABCD$ и $ABC_1D_1$ перпендикулярны (рис. 64). Найдите расстояние между прямыми $CD_1$ и $AB$, если $AB = 6$ см.

Рис. 64

По условию, ABCD и ABC₁D₁ — два квадрата со стороной 6 см, которые лежат в перпендикулярных плоскостях и имеют общую сторону AB. Прямые AB и CD₁ являются скрещивающимися. Чтобы найти расстояние между ними, воспользуемся методом проекций.

1. Построение плоскости проекции.

Построим плоскость, перпендикулярную одной из прямых, например, прямой AB.

• Поскольку ABCD — квадрат, его стороны перпендикулярны, следовательно, $AD \perp AB$.
• Поскольку ABC₁D₁ — квадрат, то $AD_1 \perp AB$.

Прямые AD и AD₁ пересекаются в точке A. Так как прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым (AD и AD₁), лежащим в плоскости (ADD₁), то прямая AB перпендикулярна всей плоскости (ADD₁).

2. Проектирование прямых на плоскость (ADD₁).

Проекцией прямой AB на перпендикулярную ей плоскость (ADD₁) является точка пересечения — точка A.

Теперь найдем проекцию прямой CD₁ на плоскость (ADD₁). Для этого спроецируем ее концы — точки C и D₁:

• Точка D₁ уже лежит в плоскости (ADD₁), поэтому ее проекция — это сама точка D₁.
• Чтобы найти проекцию точки C, нужно опустить перпендикуляр из точки C на плоскость (ADD₁). Так как ABCD — квадрат, то CD || AB. А поскольку $AB \perp (ADD_1)$, то и параллельная ей прямая $CD \perp (ADD_1)$. Это означает, что отрезок CD является перпендикуляром из точки C к плоскости (ADD₁), а точка D — его основание. Таким образом, проекцией точки C на плоскость (ADD₁) является точка D.

Следовательно, проекцией прямой CD₁ на плоскость (ADD₁) является прямая DD₁.

3. Вычисление расстояния.

Расстояние между скрещивающимися прямыми AB и CD₁ равно расстоянию между их проекциями на плоскость (ADD₁), то есть расстоянию от точки A до прямой DD₁. Это расстояние является длиной высоты треугольника ADD₁, проведенной из вершины A к стороне DD₁.

Рассмотрим треугольник ADD₁.

• Стороны AD и AD₁ являются сторонами квадратов, поэтому $AD = 6$ см и $AD_1 = 6$ см.
• Так как плоскость (ABCD) перпендикулярна плоскости (ABC₁D₁), а прямая AD лежит в плоскости (ABCD) и перпендикулярна линии их пересечения AB, то прямая AD перпендикулярна всей плоскости (ABC₁D₁). Следовательно, AD перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе AD₁. Таким образом, $\angle DAD_1 = 90^\circ$.

Треугольник ADD₁ — прямоугольный и равнобедренный. Найдем его гипотенузу DD₁ по теореме Пифагора: $DD_1 = \sqrt{AD^2 + AD_1^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ см.

Пусть h — высота, проведенная из вершины A к гипотенузе DD₁. Площадь треугольника ADD₁ можно вычислить двумя способами: $S = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AD_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$ см². $S = \frac{1}{2} \cdot DD_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot h = 3\sqrt{2} \cdot h$.

Приравнивая два выражения для площади, найдем h: $3\sqrt{2} \cdot h = 18$ $h = \frac{18}{3\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Таким образом, расстояние между прямыми AB и CD₁ равно $3\sqrt{2}$ см.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.

Площадь ортогональной проекции многоугольника

140. Найдите площадь многоугольника, если площадь его ортогональной проекции на некоторую плоскость равна $32\sqrt{2}$ см$^2$, а угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции равен $45^\circ$.

Для нахождения площади многоугольника воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Формула выглядит следующим образом:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

где:

• $S_{пр}$ – площадь ортогональной проекции,
• $S$ – площадь самого многоугольника,
• $\alpha$ – угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Из условия задачи нам известны следующие величины:

$S_{пр} = 32\sqrt{2}$ см²

$\alpha = 45°$

Чтобы найти площадь многоугольника $S$, выразим ее из формулы:

$S = \frac{S_{пр}}{\cos(\alpha)}$

Значение косинуса угла 45° равно:

$\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим известные значения в формулу и произведем расчет:

$S = \frac{32\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 32\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 32 \cdot 2 = 64$

Таким образом, площадь многоугольника составляет 64 см².

Ответ: 64 см².