Страница 46 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

85. Из точки, лежащей вне плоскости, проведены к ней две наклонные, проекции которых равны 9 см и 5 см. Найдите длины наклонных, если их разность равна 2 см.

Пусть из точки, не лежащей в плоскости, к этой плоскости проведен перпендикуляр и две наклонные. Перпендикуляр, наклонная и ее проекция на плоскость образуют прямоугольный треугольник, где наклонная является гипотенузой, а перпендикуляр и проекция — катетами.

Обозначим:
$h$ — длина перпендикуляра, общего для обеих наклонных;
$l_1$ и $l_2$ — длины наклонных;
$p_1$ и $p_2$ — длины их проекций.

По условию задачи:
$p_1 = 9$ см;
$p_2 = 5$ см;
Разность длин наклонных равна 2 см.

По теореме Пифагора для двух образовавшихся прямоугольных треугольников можно записать:
$l_1^2 = h^2 + p_1^2$ (1)
$l_2^2 = h^2 + p_2^2$ (2)

Поскольку проекция $p_1 > p_2$ (9 см > 5 см), то и соответствующая наклонная $l_1$ длиннее наклонной $l_2$. Следовательно, их разность можно записать как $l_1 - l_2 = 2$ см.

Выразим $h^2$ из обоих уравнений (1) и (2):
$h^2 = l_1^2 - p_1^2$
$h^2 = l_2^2 - p_2^2$

Приравняем правые части этих выражений:
$l_1^2 - p_1^2 = l_2^2 - p_2^2$

Сгруппируем члены с длинами наклонных в одной стороне, а с проекциями — в другой:
$l_1^2 - l_2^2 = p_1^2 - p_2^2$

Подставим известные значения длин проекций $p_1 = 9$ и $p_2 = 5$:
$l_1^2 - l_2^2 = 9^2 - 5^2 = 81 - 25 = 56$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для левой части уравнения:
$(l_1 - l_2)(l_1 + l_2) = 56$

Мы знаем, что $l_1 - l_2 = 2$. Подставим это значение в уравнение:
$2 \cdot (l_1 + l_2) = 56$

Отсюда найдем сумму длин наклонных:
$l_1 + l_2 = \frac{56}{2} = 28$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} l_1 - l_2 = 2 \\ l_1 + l_2 = 28 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $l_1$:
$(l_1 - l_2) + (l_1 + l_2) = 2 + 28$
$2l_1 = 30$
$l_1 = 15$ см

Подставим найденное значение $l_1=15$ в первое уравнение системы ($l_1 - l_2 = 2$), чтобы найти $l_2$:
$15 - l_2 = 2$
$l_2 = 15 - 2 = 13$ см

Таким образом, длины наклонных равны 15 см и 13 см.

Ответ: 15 см и 13 см.

86. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = AD$ (рис. 58). Прямая $SA$ перпендикулярна плоскости четырёхугольника, $ \angle DSC = \angle BSC $. Докажите, что $BC = CD$.

Рис. 58

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle SAB$ и $\triangle SAD$. По условию, прямая $SA$ перпендикулярна плоскости четырехугольника $ABCD$. Это означает, что $SA$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $SA \perp AB$ и $SA \perp AD$. Таким образом, треугольники $\triangle SAB$ и $\triangle SAD$ являются прямоугольными, с прямыми углами $\angle SAB$ и $\angle SAD$ соответственно.

2. Сравним прямоугольные треугольники $\triangle SAB$ и $\triangle SAD$:

• Катет $SA$ является общим для обоих треугольников.
• Катет $AB$ равен катету $AD$ по условию ($AB = AD$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle SAB$ и $\triangle SAD$ равны по двум катетам. Из равенства этих треугольников следует равенство их гипотенуз: $SB = SD$.

3. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle SBC$ и $\triangle SDC$. Сравним их элементы:

• Сторона $SC$ является общей.
• Сторона $SB$ равна стороне $SD$, как было доказано в предыдущем пункте.
• Угол $\angle BSC$ равен углу $\angle DSC$ по условию.

Таким образом, две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle SBC$ (стороны $SB$, $SC$ и угол $\angle BSC$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle SDC$ (стороны $SD$, $SC$ и угол $\angle DSC$).

4. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), следует, что $\triangle SBC \cong \triangle SDC$.

5. Из равенства треугольников $\triangle SBC$ и $\triangle SDC$ следует равенство их соответствующих сторон, а именно $BC = CD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, $BC = CD$.

87. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $MA$ и $MB$ и перпендикуляр $MC$, $MA = 10$ см, $MC = 8$ см, $AB = \sqrt{316}$ см, $\angle ACB = 120^\circ$. Найдите наклонную $MB$.

Поскольку $MC$ — перпендикуляр к плоскости $α$, то треугольники $ΔMCA$ и $ΔMCB$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $C$. Отрезки $AC$ и $BC$ являются проекциями наклонных $MA$ и $MB$ на плоскость $α$ соответственно.

1. Найдем проекцию AC

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔMCA$. По теореме Пифагора:

$MA^2 = MC^2 + AC^2$

Отсюда найдем длину проекции $AC$:

$AC^2 = MA^2 - MC^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$ см²

$AC = \sqrt{36} = 6$ см

2. Найдем проекцию BC

Теперь рассмотрим треугольник $ΔACB$, который лежит в плоскости $α$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон ($AC = 6$ см, $AB = \sqrt{316}$ см) и угол между сторонами $AC$ и $BC$ ($∠ACB = 120°$). Чтобы найти сторону $BC$, применим теорему косинусов:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(∠ACB)$

Подставим известные значения, обозначив длину $BC$ за $x$:

$(\sqrt{316})^2 = 6^2 + x^2 - 2 \cdot 6 \cdot x \cdot \cos(120°)$

Так как $\cos(120°) = -0.5$, получаем:

$316 = 36 + x^2 - 12x \cdot (-0.5)$

$316 = 36 + x^2 + 6x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 6x + 36 - 316 = 0$

$x^2 + 6x - 280 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-280) = 36 + 1120 = 1156$

$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-6 + 34}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$x_2 = \frac{-6 - 34}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, выбираем корень $x_1 = 14$. Таким образом, $BC = 14$ см.

3. Найдем наклонную MB

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔMCB$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $MB$:

$MB^2 = MC^2 + BC^2$

$MB^2 = 8^2 + 14^2 = 64 + 196 = 260$

$MB = \sqrt{260} = \sqrt{4 \cdot 65} = 2\sqrt{65}$ см

Ответ: $2\sqrt{65}$ см.

88. Точка D находится на расстоянии $9\sqrt{3}$ см от каждой вершины правильного треугольника и удалена от его плоскости на $3\sqrt{15}$ см. Найдите сторону треугольника.

Пусть $ABC$ — данный правильный треугольник, а точка $D$ находится вне его плоскости. Поскольку точка $D$ равноудалена от всех вершин треугольника ($DA = DB = DC = 9\sqrt{3}$ см), ее проекция на плоскость треугольника, назовем ее точкой $O$, будет центром описанной около треугольника $ABC$ окружности.

Расстояние от точки $D$ до плоскости треугольника — это длина перпендикуляра $DO$, опущенного из точки $D$ на эту плоскость. По условию, $DO = 3\sqrt{15}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный перпендикуляром $DO$, наклонной $DA$ (расстояние от точки $D$ до вершины $A$) и проекцией этой наклонной $OA$ (радиус $R$ описанной окружности). В треугольнике $DOA$ угол $\angle DOA = 90^\circ$.

По теореме Пифагора: $DA^2 = DO^2 + OA^2$.

Найдем квадрат радиуса описанной окружности $R^2 = OA^2$:

$OA^2 = DA^2 - DO^2 = (9\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{15})^2$

$OA^2 = (81 \cdot 3) - (9 \cdot 15) = 243 - 135 = 108$

Отсюда радиус описанной окружности равен:

$R = OA = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

Радиус $R$ описанной окружности правильного треугольника связан с его стороной $a$ формулой $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ или $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Выразим сторону $a$ через радиус $R$:

$a = R \cdot \sqrt{3}$

Подставим найденное значение $R$:

$a = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18$ см.

Ответ: 18 см.

89. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и $6\sqrt{5}$ см. Точка $M$ находится на расстоянии 15 см от каждой из его вершин. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с катетами $a = 12$ см и $b = 6\sqrt{5}$ см. Точка M находится на одинаковом расстоянии $d = 15$ см от каждой из вершин треугольника (A, B и C).

Расстояние от точки M до плоскости треугольника — это длина перпендикуляра, опущенного из точки M на эту плоскость. Обозначим основание этого перпендикуляра как H. Таким образом, искомое расстояние — это длина отрезка MH.

Поскольку точка M равноудалена от всех вершин треугольника ($MA = MB = MC = 15$ см), ее проекция H на плоскость треугольника является центром описанной около этого треугольника окружности. Прямоугольные треугольники MHA, MHB и MHC равны по гипотенузе и общему катету MH.

1. Нахождение гипотенузы треугольника

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Сначала найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 12^2 + (6\sqrt{5})^2 = 144 + 36 \cdot 5 = 144 + 180 = 324$

$c = \sqrt{324} = 18$ см.

2. Нахождение радиуса описанной окружности

Радиус $R$ описанной окружности для прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы. Этот радиус представляет собой расстояние от центра H до любой из вершин.

$R = \frac{c}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Итак, расстояние от проекции H до любой из вершин (например, HA) равно 9 см.

3. Нахождение расстояния от точки M до плоскости

Рассмотрим прямоугольный треугольник MHA, где $\angle MHA = 90^{\circ}$. В этом треугольнике:

- Гипотенуза $MA = 15$ см (по условию).

- Катет $HA = R = 9$ см.

- Катет $MH$ — искомое расстояние.

Применим теорему Пифагора для треугольника MHA:

$MA^2 = MH^2 + HA^2$

$MH^2 = MA^2 - HA^2$

$MH^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$

$MH = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

90. Через вершину $C$ треугольника $ABC$ проведена плос
кость $\alpha$, параллельная стороне $AB$. Расстояние от
прямой $AB$ до плоскости $\alpha$ равно 6 см, а проекции
сторон $CA$ и $CB$ на эту плоскость равны 4 см и 8 см
соответственно. Найдите медиану $CM$ треугольника
$ABC$, если $AB = 10$ см.

Пусть $\alpha$ — плоскость, проходящая через вершину $C$ треугольника $ABC$ и параллельная стороне $AB$. Расстояние от прямой $AB$ до плоскости $\alpha$ по условию равно 6 см. Обозначим это расстояние как $h=6$ см.

Спроектируем ортогонально вершины $A$ и $B$ на плоскость $\alpha$. Пусть $A'$ и $B'$ — проекции точек $A$ и $B$ соответственно. Так как точка $C$ лежит в плоскости $\alpha$, ее проекция совпадает с ней самой. Тогда проекцией стороны $CA$ на плоскость $\alpha$ будет отрезок $CA'$, а проекцией стороны $CB$ — отрезок $CB'$. По условию, $CA' = 4$ см и $CB' = 8$ см.

Поскольку прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$, расстояние от любой точки на прямой $AB$ до плоскости $\alpha$ будет одинаковым и равным $h=6$ см. Следовательно, длины перпендикуляров, опущенных из точек $A$ и $B$ на плоскость $\alpha$, равны: $AA' = BB' = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $CAA'$. Он является прямоугольным, так как $AA'$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а значит, и к любой прямой, лежащей в этой плоскости (в частности, к $CA'$). По теореме Пифагора найдем длину стороны $CA$:

$CA^2 = (CA')^2 + (AA')^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$

$CA = \sqrt{52}$ см.

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник $CBB'$. По теореме Пифагора найдем длину стороны $CB$:

$CB^2 = (CB')^2 + (BB')^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$

$CB = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника $ABC$: $CA = \sqrt{52}$ см, $CB = 10$ см и $AB = 10$ см (по условию).

Медиана $CM$ проведена к стороне $AB$. Для нахождения длины медианы треугольника воспользуемся формулой:

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$, где $a=CB$, $b=CA$, $c=AB$.

Подставим известные значения в формулу:

$CM = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot CB^2 + 2 \cdot CA^2 - AB^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 10^2 + 2 \cdot (\sqrt{52})^2 - 10^2}$

$CM = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 100 + 2 \cdot 52 - 100} = \frac{1}{2}\sqrt{200 + 104 - 100}$

$CM = \frac{1}{2}\sqrt{204}$

Упростим корень: $204 = 4 \cdot 51$.

$CM = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 51} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{51} = \sqrt{51}$ см.

Ответ: $\sqrt{51}$ см.