Номер 90, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

90. Через вершину $C$ треугольника $ABC$ проведена плос
кость $\alpha$, параллельная стороне $AB$. Расстояние от
прямой $AB$ до плоскости $\alpha$ равно 6 см, а проекции
сторон $CA$ и $CB$ на эту плоскость равны 4 см и 8 см
соответственно. Найдите медиану $CM$ треугольника
$ABC$, если $AB = 10$ см.

Пусть $\alpha$ — плоскость, проходящая через вершину $C$ треугольника $ABC$ и параллельная стороне $AB$. Расстояние от прямой $AB$ до плоскости $\alpha$ по условию равно 6 см. Обозначим это расстояние как $h=6$ см.

Спроектируем ортогонально вершины $A$ и $B$ на плоскость $\alpha$. Пусть $A'$ и $B'$ — проекции точек $A$ и $B$ соответственно. Так как точка $C$ лежит в плоскости $\alpha$, ее проекция совпадает с ней самой. Тогда проекцией стороны $CA$ на плоскость $\alpha$ будет отрезок $CA'$, а проекцией стороны $CB$ — отрезок $CB'$. По условию, $CA' = 4$ см и $CB' = 8$ см.

Поскольку прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$, расстояние от любой точки на прямой $AB$ до плоскости $\alpha$ будет одинаковым и равным $h=6$ см. Следовательно, длины перпендикуляров, опущенных из точек $A$ и $B$ на плоскость $\alpha$, равны: $AA' = BB' = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $CAA'$. Он является прямоугольным, так как $AA'$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а значит, и к любой прямой, лежащей в этой плоскости (в частности, к $CA'$). По теореме Пифагора найдем длину стороны $CA$:

$CA^2 = (CA')^2 + (AA')^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$

$CA = \sqrt{52}$ см.

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник $CBB'$. По теореме Пифагора найдем длину стороны $CB$:

$CB^2 = (CB')^2 + (BB')^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$

$CB = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника $ABC$: $CA = \sqrt{52}$ см, $CB = 10$ см и $AB = 10$ см (по условию).

Медиана $CM$ проведена к стороне $AB$. Для нахождения длины медианы треугольника воспользуемся формулой:

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$, где $a=CB$, $b=CA$, $c=AB$.

Подставим известные значения в формулу:

$CM = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot CB^2 + 2 \cdot CA^2 - AB^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 10^2 + 2 \cdot (\sqrt{52})^2 - 10^2}$

$CM = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 100 + 2 \cdot 52 - 100} = \frac{1}{2}\sqrt{200 + 104 - 100}$

$CM = \frac{1}{2}\sqrt{204}$

Упростим корень: $204 = 4 \cdot 51$.

$CM = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 51} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{51} = \sqrt{51}$ см.

Ответ: $\sqrt{51}$ см.