Номер 87, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $MA$ и $MB$ и перпендикуляр $MC$, $MA = 10$ см, $MC = 8$ см, $AB = \sqrt{316}$ см, $\angle ACB = 120^\circ$. Найдите наклонную $MB$.

Поскольку $MC$ — перпендикуляр к плоскости $α$, то треугольники $ΔMCA$ и $ΔMCB$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $C$. Отрезки $AC$ и $BC$ являются проекциями наклонных $MA$ и $MB$ на плоскость $α$ соответственно.

1. Найдем проекцию AC

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔMCA$. По теореме Пифагора:

$MA^2 = MC^2 + AC^2$

Отсюда найдем длину проекции $AC$:

$AC^2 = MA^2 - MC^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$ см²

$AC = \sqrt{36} = 6$ см

2. Найдем проекцию BC

Теперь рассмотрим треугольник $ΔACB$, который лежит в плоскости $α$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон ($AC = 6$ см, $AB = \sqrt{316}$ см) и угол между сторонами $AC$ и $BC$ ($∠ACB = 120°$). Чтобы найти сторону $BC$, применим теорему косинусов:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(∠ACB)$

Подставим известные значения, обозначив длину $BC$ за $x$:

$(\sqrt{316})^2 = 6^2 + x^2 - 2 \cdot 6 \cdot x \cdot \cos(120°)$

Так как $\cos(120°) = -0.5$, получаем:

$316 = 36 + x^2 - 12x \cdot (-0.5)$

$316 = 36 + x^2 + 6x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 6x + 36 - 316 = 0$

$x^2 + 6x - 280 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-280) = 36 + 1120 = 1156$

$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-6 + 34}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$x_2 = \frac{-6 - 34}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, выбираем корень $x_1 = 14$. Таким образом, $BC = 14$ см.

3. Найдем наклонную MB

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔMCB$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $MB$:

$MB^2 = MC^2 + BC^2$

$MB^2 = 8^2 + 14^2 = 64 + 196 = 260$

$MB = \sqrt{260} = \sqrt{4 \cdot 65} = 2\sqrt{65}$ см

Ответ: $2\sqrt{65}$ см.