Номер 85, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

85. Из точки, лежащей вне плоскости, проведены к ней две наклонные, проекции которых равны 9 см и 5 см. Найдите длины наклонных, если их разность равна 2 см.

Пусть из точки, не лежащей в плоскости, к этой плоскости проведен перпендикуляр и две наклонные. Перпендикуляр, наклонная и ее проекция на плоскость образуют прямоугольный треугольник, где наклонная является гипотенузой, а перпендикуляр и проекция — катетами.

Обозначим:
$h$ — длина перпендикуляра, общего для обеих наклонных;
$l_1$ и $l_2$ — длины наклонных;
$p_1$ и $p_2$ — длины их проекций.

По условию задачи:
$p_1 = 9$ см;
$p_2 = 5$ см;
Разность длин наклонных равна 2 см.

По теореме Пифагора для двух образовавшихся прямоугольных треугольников можно записать:
$l_1^2 = h^2 + p_1^2$ (1)
$l_2^2 = h^2 + p_2^2$ (2)

Поскольку проекция $p_1 > p_2$ (9 см > 5 см), то и соответствующая наклонная $l_1$ длиннее наклонной $l_2$. Следовательно, их разность можно записать как $l_1 - l_2 = 2$ см.

Выразим $h^2$ из обоих уравнений (1) и (2):
$h^2 = l_1^2 - p_1^2$
$h^2 = l_2^2 - p_2^2$

Приравняем правые части этих выражений:
$l_1^2 - p_1^2 = l_2^2 - p_2^2$

Сгруппируем члены с длинами наклонных в одной стороне, а с проекциями — в другой:
$l_1^2 - l_2^2 = p_1^2 - p_2^2$

Подставим известные значения длин проекций $p_1 = 9$ и $p_2 = 5$:
$l_1^2 - l_2^2 = 9^2 - 5^2 = 81 - 25 = 56$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для левой части уравнения:
$(l_1 - l_2)(l_1 + l_2) = 56$

Мы знаем, что $l_1 - l_2 = 2$. Подставим это значение в уравнение:
$2 \cdot (l_1 + l_2) = 56$

Отсюда найдем сумму длин наклонных:
$l_1 + l_2 = \frac{56}{2} = 28$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} l_1 - l_2 = 2 \\ l_1 + l_2 = 28 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $l_1$:
$(l_1 - l_2) + (l_1 + l_2) = 2 + 28$
$2l_1 = 30$
$l_1 = 15$ см

Подставим найденное значение $l_1=15$ в первое уравнение системы ($l_1 - l_2 = 2$), чтобы найти $l_2$:
$15 - l_2 = 2$
$l_2 = 15 - 2 = 13$ см

Таким образом, длины наклонных равны 15 см и 13 см.

Ответ: 15 см и 13 см.