Номер 79, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Перпендикуляр и наклонная

79. На рисунке 57 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите проекцию отрезка $BD_1$ на плоскость: 1) $ABC$; 2) $CDD_1$; 3) $ADD_1$.

Рис. 57

Проекцией отрезка на плоскость является отрезок, соединяющий проекции его концов на эту плоскость. Проекцией точки на плоскость является основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если точка принадлежит плоскости, то она совпадает со своей проекцией.

1) ABC

Найдем проекцию отрезка $BD_1$ на плоскость основания $ABC$.
- Проекцией точки $B$ на плоскость $ABC$ является сама точка $B$, так как точка $B$ лежит в этой плоскости.
- Проекцией точки $D_1$ на плоскость $ABC$ является точка $D$. Это следует из того, что ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ по определению куба, значит, отрезок $DD_1$ является перпендикуляром из точки $D_1$ к плоскости $ABC$.
Таким образом, отрезок $BD$ является проекцией отрезка $BD_1$ на плоскость $ABC$.
Ответ: $BD$.

2) CDD₁

Найдем проекцию отрезка $BD_1$ на плоскость боковой грани $CDD_1$.
- Проекцией точки $B$ на плоскость $CDD_1$ является точка $C$. Это следует из того, что ребро $BC$ перпендикулярно плоскости $CDD_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $BC \perp CD$ (как стороны квадрата $ABCD$) и $BC \perp DD_1$ (так как $DD_1$ перпендикулярно всей плоскости $ABC$, в которой лежит $BC$).
- Проекцией точки $D_1$ на плоскость $CDD_1$ является сама точка $D_1$, так как точка $D_1$ лежит в этой плоскости.
Таким образом, отрезок $CD_1$ является проекцией отрезка $BD_1$ на плоскость $CDD_1$.
Ответ: $CD_1$.

3) ADD₁

Найдем проекцию отрезка $BD_1$ на плоскость боковой грани $ADD_1$.
- Проекцией точки $B$ на плоскость $ADD_1$ является точка $A$. Это следует из того, что ребро $AB$ перпендикулярно плоскости $ADD_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $AB \perp AD$ (как стороны квадрата $ABCD$) и $AB \perp AA_1$ (так как $AA_1$ перпендикулярно всей плоскости $ABC$, в которой лежит $AB$).
- Проекцией точки $D_1$ на плоскость $ADD_1$ является сама точка $D_1$, так как точка $D_1$ лежит в этой плоскости.
Таким образом, отрезок $AD_1$ является проекцией отрезка $BD_1$ на плоскость $ADD_1$.
Ответ: $AD_1$.