Номер 75, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

75. Точка $D$ лежит вне плоскости равнобедренного треугольника $ABC$ и равноудалена от точек $B$ и $C$, точка $M$ — середина основания $BC$. Докажите, что прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ADM$.

Для доказательства того, что прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ADM$, воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Согласно этому признаку, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Докажем, что прямая $BC$ перпендикулярна прямым $AM$ и $DM$, которые пересекаются в точке $M$ и лежат в плоскости $ADM$.

1. Перпендикулярность $BC$ и $AM$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, он является равнобедренным с основанием $BC$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AB = AC$.
Точка $M$ является серединой основания $BC$. Следовательно, отрезок $AM$ — это медиана, проведенная к основанию.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой.
Так как $AM$ является высотой, то она перпендикулярна основанию $BC$, то есть $AM \perp BC$.

2. Перпендикулярность $BC$ и $DM$.

Рассмотрим треугольник $DBC$. По условию, точка $D$ равноудалена от точек $B$ и $C$, что означает равенство отрезков $DB = DC$.
Следовательно, треугольник $DBC$ также является равнобедренным с основанием $BC$.
Точка $M$ — середина основания $BC$, значит, отрезок $DM$ является медианой, проведенной к основанию.
По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является и высотой.
Таким образом, $DM \perp BC$.

3. Вывод.

Итак, мы установили, что:
1) Прямая $BC$ перпендикулярна прямой $AM$ ($BC \perp AM$).
2) Прямая $BC$ перпендикулярна прямой $DM$ ($BC \perp DM$).
Прямые $AM$ и $DM$ лежат в плоскости $ADM$ и пересекаются в точке $M$.
Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ADM$.

Ответ: Что и требовалось доказать.