Номер 70, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. Через точку $O$ пересечения диагоналей квадрата $ABCD$ проведена прямая $SO$, перпендикулярная его плоскости, и точка $S$ соединена с серединой $E$ стороны $DC$ (рис. 54). Найдите отрезок $SC$, если $AB = 8$ см, $\angle SEO = 60^{\circ}$.

Рис. 54

Поскольку ABCD — это квадрат со стороной $AB = 8$ см, все его стороны равны 8 см. Таким образом, $DC = AD = 8$ см.
Точка E является серединой стороны DC. Следовательно, длина отрезка EC равна половине длины стороны DC:
$EC = \frac{DC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
Точка O является центром квадрата (точкой пересечения диагоналей). Отрезок OE соединяет центр квадрата с серединой стороны DC. Длина этого отрезка равна половине стороны AD, параллельной ему. Кроме того, этот отрезок перпендикулярен стороне DC.
$OE = \frac{AD}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см, и $OE \perp DC$.
По условию, прямая SO перпендикулярна плоскости квадрата (ABCD). OE — это проекция наклонной SE на плоскость (ABCD). Так как проекция OE перпендикулярна прямой DC, лежащей в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная SE перпендикулярна прямой DC. Следовательно, треугольник $\triangle SEC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle SEC = 90^\circ$.
Для нахождения SC нам нужно найти длину катета SE. Рассмотрим треугольник $\triangle SOE$. Так как $SO \perp (ABCD)$, а отрезок OE лежит в этой плоскости, то $SO \perp OE$. Значит, треугольник $\triangle SOE$ является прямоугольным с прямым углом $\angle SOE = 90^\circ$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle SOE$ нам известен катет $OE = 4$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle SEO = 60^\circ$. Найдем гипотенузу SE из определения косинуса:
$cos(\angle SEO) = \frac{OE}{SE}$
Отсюда $SE = \frac{OE}{cos(60^\circ)} = \frac{4}{1/2} = 8$ см.
Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle SEC$. Мы знаем длины его катетов: $SE = 8$ см и $EC = 4$ см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу SC:
$SC^2 = SE^2 + EC^2$
$SC^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$
$SC = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.
Ответ: $4\sqrt{5}$ см.