Номер 72, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Через точку $M$, лежащую вне плоскости треугольника $ABC$, проведена прямая $MA$, перпендикулярная прямым $AB$ и $AC$. Докажите, что прямая $MA$ перпендикулярна медиане $AN$ треугольника $ABC$.

По условию задачи, точка $M$ лежит вне плоскости треугольника $ABC$. Через точку $M$ проведена прямая $MA$, которая перпендикулярна прямым $AB$ и $AC$. Это означает, что $MA \perp AB$ и $MA \perp AC$.

Рассмотрим плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$. Обозначим эту плоскость как $\alpha$. Так как $A$, $B$ и $C$ являются вершинами треугольника, они лежат в плоскости $\alpha$. Прямые $AB$ и $AC$ являются сторонами этого треугольника, следовательно, они также лежат в плоскости $\alpha$. Прямые $AB$ и $AC$ пересекаются в точке $A$.

Воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

В нашем случае прямая $MA$ перпендикулярна двум пересекающимся в точке $A$ прямым $AB$ и $AC$, которые лежат в плоскости $\alpha$. Из этого следует, что прямая $MA$ перпендикулярна всей плоскости $\alpha$, то есть $MA \perp \alpha$.

Теперь рассмотрим медиану $AN$. Медиана $AN$ соединяет вершину $A$ с точкой $N$, которая является серединой стороны $BC$. Поскольку точки $A$, $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся сторона $BC$, а значит и ее середина $N$, лежит в плоскости $\alpha$. Таким образом, вся прямая $AN$ лежит в плоскости $\alpha$.

По определению прямой, перпендикулярной плоскости: если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Так как мы установили, что прямая $MA$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, а прямая $AN$ лежит в этой плоскости, то прямая $MA$ перпендикулярна прямой $AN$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая $MA$ перпендикулярна медиане $AN$ треугольника $ABC$.