Номер 77, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

77. Через вершину $A$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая $AM$, перпендикулярная плоскости $ABC$. Через точку $O$ пересечения диагоналей прямоугольника проведена прямая $OK$, параллельная прямой $AM$. Найдите расстояние от точки $K$ до вершин прямоугольника, если $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $OK = 6$ см.

Поскольку прямая $AM$ перпендикулярна плоскости прямоугольника $ABC$, то $AM \perp (ABC)$. По условию, прямая $OK$ параллельна прямой $AM$ ($OK \parallel AM$). Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, прямая $OK$ также перпендикулярна плоскости прямоугольника $ABC$ ($OK \perp (ABC)$).

Это означает, что отрезок $OK$ перпендикулярен любому отрезку, лежащему в плоскости $(ABC)$ и проходящему через точку $O$. В частности, $OK$ перпендикулярен отрезкам $OA, OB, OC$ и $OD$. Таким образом, треугольники $\Delta KOA, \Delta KOB, \Delta KOC$ и $\Delta KOD$ являются прямоугольными, с прямым углом при вершине $O$.

Для нахождения расстояний от точки $K$ до вершин прямоугольника ($KA, KB, KC, KD$), нам нужно найти длины отрезков $OA, OB, OC, OD$. Точка $O$ является точкой пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $OA = OB = OC = OD$.

Найдем длину диагонали $AC$ из прямоугольного треугольника $\Delta ABC$ по теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$AC = \sqrt{25} = 5$ см.

Тогда половины диагоналей равны:

$OA = OB = OC = OD = \frac{AC}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ см.

Теперь мы можем найти искомые расстояния, используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников $\Delta KOA, \Delta KOB, \Delta KOC$ и $\Delta KOD$.

Расстояние от точки K до вершины A

В прямоугольном треугольнике $\Delta KOA$ гипотенуза $KA$ равна:

$KA^2 = OK^2 + OA^2$

$KA^2 = 6^2 + (2.5)^2 = 36 + 6.25 = 42.25$

$KA = \sqrt{42.25} = 6.5$ см.

Ответ: 6.5 см.

Расстояние от точки K до вершины B

В прямоугольном треугольнике $\Delta KOB$ гипотенуза $KB$ равна:

$KB^2 = OK^2 + OB^2$

$KB^2 = 6^2 + (2.5)^2 = 36 + 6.25 = 42.25$

$KB = \sqrt{42.25} = 6.5$ см.

Ответ: 6.5 см.

Расстояние от точки K до вершины C

В прямоугольном треугольнике $\Delta KOC$ гипотенуза $KC$ равна:

$KC^2 = OK^2 + OC^2$

$KC^2 = 6^2 + (2.5)^2 = 36 + 6.25 = 42.25$

$KC = \sqrt{42.25} = 6.5$ см.

Ответ: 6.5 см.

Расстояние от точки K до вершины D

В прямоугольном треугольнике $\Delta KOD$ гипотенуза $KD$ равна:

$KD^2 = OK^2 + OD^2$

$KD^2 = 6^2 + (2.5)^2 = 36 + 6.25 = 42.25$

$KD = \sqrt{42.25} = 6.5$ см.

Ответ: 6.5 см.