Номер 74, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

74. На рисунке 56 изображён куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Докажите, что четырёхугольник $AB_1 C_1 D$ — прямоугольник.

Рис. 56

Для того чтобы доказать, что четырехугольник $AB_1C_1D$ является прямоугольником, необходимо сначала доказать, что он является параллелограммом, а затем — что один из его внутренних углов равен $90^\circ$.

1. Доказательство того, что $AB_1C_1D$ — параллелограмм.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все грани являются квадратами, а противоположные грани параллельны. Рассмотрим ребра $AB$ и $DC$. Так как грань $ABCD$ является квадратом, то сторона $AB$ параллельна стороне $DC$ и равна ей по длине. Это можно выразить через равенство векторов: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Аналогично, боковые ребра куба параллельны и равны. В частности, $BB_1 \parallel CC_1$ и $BB_1 = CC_1$, что означает $\vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.

Теперь рассмотрим противоположные стороны четырехугольника $AB_1C_1D$ — стороны $AB_1$ и $DC_1$. Выразим соответствующие им векторы через рёбра куба:

$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$

$\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$

Поскольку $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BB_1} = \vec{CC_1}$, то из этого следует, что $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$.

Равенство векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{DC_1}$ означает, что отрезки $AB_1$ и $DC_1$ параллельны и равны по длине. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $AB_1C_1D$ — параллелограмм.

2. Доказательство того, что у параллелограмма $AB_1C_1D$ есть прямой угол.

Рассмотрим угол $\angle DAB_1$ (или $\angle C_1DA$). Докажем, что он прямой.

Ребро $AD$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$. Это следует из того, что ребро $AD$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым, лежащим в этой грани:

• $AD \perp AB$, так как грань $ABCD$ — квадрат.
• $AD \perp AA_1$, так как грань $ADD_1A_1$ — квадрат.

По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $(ABB_1A_1)$.

Отрезок $AB_1$ является диагональю грани $ABB_1A_1$ и, следовательно, полностью лежит в этой плоскости.

Отсюда следует, что ребро $AD$ перпендикулярно диагонали $AB_1$. Таким образом, угол между ними составляет $90^\circ$, то есть $\angle DAB_1 = 90^\circ$.

Заключение.

Мы установили, что четырехугольник $AB_1C_1D$ является параллелограммом, и один из его углов, $\angle DAB_1$, является прямым. Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, по определению является прямоугольником.

Следовательно, четырехугольник $AB_1C_1D$ — прямоугольник. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $AB_1C_1D$ является прямоугольником, поскольку он является параллелограммом (его противоположные стороны $AB_1$ и $DC_1$ равны и параллельны) и у него есть прямой угол (например, $\angle DAB_1 = 90^\circ$, так как ребро $AD$ перпендикулярно плоскости грани $ABB_1A_1$, которой принадлежит сторона $AB_1$).