gdz.top
Номер 78, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 2. Перпендикулярность прямой и плоскости - номер 78, страница 45.
№77
№78 (с. 45)
Условие. №78 (с. 45)
78. Через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая $FB$, перпендикулярная его плоскости, $FB = 6$ см. Найдите угол между прямыми $AB$ и $FD$, если $AB = 9$ см, $BC = 12$ см.
Решение. №78 (с. 45)
Решение 2. №78 (с. 45)
Прямые $AB$ и $FD$ являются скрещивающимися. Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им пересекающимися прямыми. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, то прямая $CD$ параллельна прямой $AB$. Следовательно, искомый угол между прямыми $AB$ и $FD$ равен углу $\angle FDC$ между пересекающимися прямыми $FD$ и $CD$.
Рассмотрим треугольник $FDC$. По условию, прямая $FB$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Прямая $FC$ является наклонной к этой плоскости, а $BC$ — её проекцией на плоскость $(ABC)$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то его стороны $BC$ и $CD$ перпендикулярны ($BC \perp CD$). По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($BC$) перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости ($CD$), то и сама наклонная ($FC$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $FC \perp CD$, и треугольник $FDC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.
Найдем длины катетов прямоугольного треугольника $FDC$.Катет $CD$ равен противолежащей стороне прямоугольника $AB$: $CD = AB = 9$ см.Катет $FC$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $FBC$ (угол $\angle FBC = 90^\circ$, так как $FB \perp (ABC)$). По теореме Пифагора:$FC^2 = FB^2 + BC^2 = 6^2 + 12^2 = 36 + 144 = 180$ см2.Отсюда $FC = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.
В прямоугольном треугольнике $FDC$ тангенс искомого угла $\angle FDC$ равен отношению противолежащего катета $FC$ к прилежащему катету $CD$:$\tan(\angle FDC) = \frac{FC}{CD} = \frac{6\sqrt{5}}{9} = \frac{2\sqrt{5}}{3}$.Следовательно, искомый угол равен $\arctan\left(\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)$.
Ответ: $\arctan\left(\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 78 расположенного на странице 45 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №78 (с. 45), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.