Номер 76, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. Плоскость $\alpha$ проходит через середины сторон $AD$ и $BC$ четырёхугольника $ABCD$ и перпендикулярна прямым $AD$ и $BC$. Докажите, что если $BC = AD$, то четырёхугольник $ABCD$ — прямоугольник.

1. Доказательство параллельности сторон AD и BC

По условию задачи, плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямым $AD$ и $BC$. Согласно свойству о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости, эти прямые параллельны друг другу. Следовательно, $AD \parallel BC$.

2. Доказательство того, что ABCD — параллелограмм

Из предыдущего пункта следует, что стороны $AD$ и $BC$ параллельны. По условию задачи, длины этих сторон также равны: $AD = BC$. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Таким образом, $ABCD$ — параллелограмм, и все его вершины лежат в одной плоскости.

3. Доказательство того, что ABCD — прямоугольник

Чтобы доказать, что параллелограмм $ABCD$ является прямоугольником, достаточно показать, что один из его углов прямой, то есть что его смежные стороны перпендикулярны. Докажем, что $AB \perp AD$.

Пусть $M$ — середина стороны $AD$, а $N$ — середина стороны $BC$. По условию, точки $M$ и $N$ лежат в плоскости $\alpha$, а значит, и вся прямая $MN$ лежит в плоскости $\alpha$.

Поскольку по условию прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($AD \perp \alpha$), то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $AD \perp MN$.

Рассмотрим вектор $\vec{MN}$. Для любого четырехугольника $ABCD$ справедливо векторное равенство, связывающее отрезок между серединами двух сторон с двумя другими сторонами: $\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{DC})$.

Так как $ABCD$ — параллелограмм (что было доказано в пункте 2), то его противоположные стороны, представленные как векторы, равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$. Подставим это в предыдущее равенство:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AB}) = \vec{AB}$

Равенство векторов $\vec{MN} = \vec{AB}$ означает, что прямые $MN$ и $AB$ параллельны ($MN \parallel AB$).

Мы установили, что $AD \perp MN$ и $MN \parallel AB$. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Следовательно, $AD \perp AB$.

Таким образом, угол $\angle DAB = 90^\circ$. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Следовательно, $ABCD$ — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, четырехугольник $ABCD$ является прямоугольником.