Номер 83, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

83. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $MK$ и $MC$ и перпендикуляр $MD$. Найдите наклонные $MK$ и $MC$, если $KD = 6 \text{ см}$, $\angle MCD = 30^\circ$, $\angle MKD = 60^\circ$.

По условию задачи, MD — перпендикуляр к плоскости $\alpha$. Это означает, что отрезок MD перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку D. В частности, $MD \perp KD$ и $MD \perp CD$. Следовательно, треугольники $\triangle MDK$ и $\triangle MDC$ являются прямоугольными, с прямыми углами при вершине D, то есть $\angle MDK = 90^\circ$ и $\angle MDC = 90^\circ$.

Нахождение наклонной MK

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MDK$. В нем известны катет $KD = 6$ см и острый угол $\angle MKD = 60^\circ$. Наклонная $MK$ является гипотенузой этого треугольника. Связь между прилежащим катетом ($KD$), гипотенузой ($MK$) и углом между ними ($\angle MKD$) выражается через косинус:

$\cos(\angle MKD) = \frac{KD}{MK}$

Выразим из этой формулы $MK$:

$MK = \frac{KD}{\cos(\angle MKD)}$

Подставим известные значения: $KD = 6$ см и $\angle MKD = 60^\circ$ (где $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$):

$MK = \frac{6}{1/2} = 12$ см.

Ответ: наклонная $MK = 12$ см.

Нахождение наклонной MC

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MDC$. Чтобы найти гипотенузу $MC$, нам нужно знать длину хотя бы одного катета. Найдем длину катета $MD$ из треугольника $\triangle MDK$, так как он является общим для обоих треугольников.

В треугольнике $\triangle MDK$ катет $MD$ противоположен углу $\angle MKD = 60^\circ$. Связь между катетами и углом выражается через тангенс:

$\tan(\angle MKD) = \frac{MD}{KD}$

Выразим из этой формулы $MD$:

$MD = KD \cdot \tan(\angle MKD)$

Подставим известные значения: $KD = 6$ см и $\angle MKD = 60^\circ$ (где $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$):

$MD = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle MDC$ нам известен катет $MD = 6\sqrt{3}$ см и противолежащий ему угол $\angle MCD = 30^\circ$. Наклонная $MC$ является гипотенузой. Связь между противолежащим катетом, гипотенузой и углом выражается через синус:

$\sin(\angle MCD) = \frac{MD}{MC}$

Выразим отсюда $MC$:

$MC = \frac{MD}{\sin(\angle MCD)}$

Подставим известные значения: $MD = 6\sqrt{3}$ см и $\angle MCD = 30^\circ$ (где $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$):

$MC = \frac{6\sqrt{3}}{1/2} = 12\sqrt{3}$ см.

Ответ: наклонная $MC = 12\sqrt{3}$ см.