Номер 67, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. Точки $M, N, K$ и $P$ — середины соответственно рёбер $AB, BD, CD$ и $AC$ тетраэдра $DABC$, $BC = 6$ см, $AD = 4\sqrt{3}$ см, $NP = \sqrt{39}$ см. Найдите угол между прямыми $BC$ и $AD$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BC$ и $AD$ воспользуемся методом параллельного переноса. Построим прямые, параллельные данным, которые пересекаются.

Рассмотрим треугольник $DAB$. Так как точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $BD$ соответственно, то отрезок $MN$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $MN$ параллельна $AD$ и равна половине её длины:
$MN \parallel AD$ и $MN = \frac{1}{2}AD$.

Подставим известное значение $AD = 4\sqrt{3}$ см:
$MN = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Аналогично, в треугольнике $ABC$ отрезок $MP$ (где $M$ и $P$ — середины $AB$ и $AC$) является средней линией. Следовательно, $MP$ параллельна $BC$ и равна половине её длины:
$MP \parallel BC$ и $MP = \frac{1}{2}BC$.

Подставим известное значение $BC = 6$ см:
$MP = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Угол между скрещивающимися прямыми $BC$ и $AD$ по определению равен углу между пересекающимися прямыми $MP$ и $MN$, которые им соответственно параллельны. Таким образом, искомый угол равен углу $\angle NMP$.

Рассмотрим треугольник $MNP$. Нам известны длины всех трёх его сторон: $MN = 2\sqrt{3}$ см, $MP = 3$ см и $NP = \sqrt{39}$ см (по условию).

Применим к треугольнику $MNP$ теорему косинусов для нахождения косинуса угла $\angle NMP$:
$NP^2 = MN^2 + MP^2 - 2 \cdot MN \cdot MP \cdot \cos(\angle NMP)$

Подставим известные значения в формулу:
$(\sqrt{39})^2 = (2\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot 3 \cdot \cos(\angle NMP)$
$39 = (4 \cdot 3) + 9 - 12\sqrt{3} \cdot \cos(\angle NMP)$
$39 = 12 + 9 - 12\sqrt{3} \cdot \cos(\angle NMP)$
$39 = 21 - 12\sqrt{3} \cdot \cos(\angle NMP)$

Выразим $\cos(\angle NMP)$:
$39 - 21 = -12\sqrt{3} \cdot \cos(\angle NMP)$
$18 = -12\sqrt{3} \cdot \cos(\angle NMP)$
$\cos(\angle NMP) = \frac{18}{-12\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Значение косинуса отрицательное, значит, угол $\angle NMP$ — тупой.
$\angle NMP = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 150^{\circ}$.

Углом между двумя прямыми по определению считается наименьший из углов, образованных при их пересечении, то есть угол в диапазоне от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$. Если при пересечении прямых образуется тупой угол (в нашем случае $150^{\circ}$), то углом между прямыми считается смежный с ним острый угол.

Искомый угол $\alpha$ равен:
$\alpha = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.

Ответ: $30^{\circ}$.