Номер 62, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

62. Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — параллельные проекции точек $A$, $B$ и $C$ на плоскость $\alpha$ (рис. 50). Постройте проекцию на плоскость $\alpha$ точки $M$, лежащей в плоскости $ABC$.

Рис. 50

Для построения проекции точки $M$ (обозначим ее $M_1$) на плоскость $\alpha$ воспользуемся тем, что параллельное проецирование сохраняет принадлежность точки прямой (инцидентность). Это значит, что если точка $M$ лежит на некоторой прямой $l$, то ее проекция $M_1$ будет лежать на проекции этой прямой $l_1$. Чтобы однозначно определить положение точки $M_1$, нам нужно найти две такие прямые, на пересечении которых она находится. Так как точка $M$ лежит в плоскости $ABC$, мы можем провести через нее вспомогательные прямые, используя вершины треугольника $ABC$.

Алгоритм построения:

1. Проведем прямую через точки $A$ и $M$ до пересечения с прямой $BC$. Обозначим точку пересечения как $K$. Таким образом, точка $K$ лежит на прямой $BC$.
2. Построим проекцию точки $K$ на плоскость $\alpha$. Так как $K$ лежит на прямой $BC$, ее проекция $K_1$ будет лежать на прямой $B_1C_1$. Чтобы найти $K_1$, проведем через точку $K$ прямую, параллельную направлению проецирования (например, прямой $AA_1$). Точка пересечения построенной прямой с прямой $B_1C_1$ и будет искомой точкой $K_1$.
3. Соединим точки $A_1$ и $K_1$. Прямая $A_1K_1$ является проекцией прямой $AK$. Так как точка $M$ лежит на прямой $AK$, ее проекция $M_1$ должна лежать на прямой $A_1K_1$.
4. Чтобы найти точное положение $M_1$, нам нужна еще одна прямая. Проведем прямую через точки $B$ и $M$ до пересечения с прямой $AC$. Обозначим точку пересечения как $L$.
5. Аналогично пункту 2, построим проекцию точки $L$ на плоскость $\alpha$. Проведем через $L$ прямую, параллельную $AA_1$, до пересечения с прямой $A_1C_1$. Полученная точка $L_1$ является проекцией точки $L$.
6. Соединим точки $B_1$ и $L_1$. Прямая $B_1L_1$ является проекцией прямой $BL$. Так как $M$ лежит на прямой $BL$, ее проекция $M_1$ должна лежать на прямой $B_1L_1$.
7. Искомая точка $M_1$ является точкой пересечения построенных прямых $A_1K_1$ и $B_1L_1$.

Пересечение прямых $A_1K_1$ и $B_1L_1$ однозначно определяет положение точки $M_1$, которая является параллельной проекцией точки $M$ на плоскость $\alpha$.

Ответ: Искомая точка $M_1$ построена как точка пересечения прямых $A_1K_1$ и $B_1L_1$, где $K_1$ и $L_1$ — проекции точек $K = AM \cap BC$ и $L = BM \cap AC$ соответственно, построенные согласно описанному выше алгоритму.