Номер 57, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением прямоугольного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AB$ (рис. 49). Постройте изображения серединных перпендикуляров отрезков $AC$ и $BC$.

Рис. 49

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и свойствами параллельного проецирования.

Серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника пересекаются в одной точке — центре его описанной окружности. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с гипотенузой $AB$ (и, следовательно, с прямым углом при вершине $C$) центр описанной окружности находится в середине гипотенузы $AB$.

Пусть $O$ — середина гипотенузы $AB$, $K$ — середина катета $AC$, и $N$ — середина катета $BC$. Тогда серединный перпендикуляр к отрезку $AC$ — это прямая, проходящая через точки $O$ и $K$. Аналогично, серединный перпендикуляр к отрезку $BC$ — это прямая, проходящая через точки $O$ и $N$.

При параллельном проецировании середина отрезка переходит в середину образа этого отрезка, а прямая — в прямую. Пусть $A_1B_1C_1$ — изображение треугольника $ABC$. Тогда образами точек $O, K, N$ будут соответственно точки $O_1$ — середина $A_1B_1$, $K_1$ — середина $A_1C_1$, и $N_1$ — середина $B_1C_1$.

Таким образом, образом серединного перпендикуляра к $AC$ будет прямая $O_1K_1$, а образом серединного перпендикуляра к $BC$ будет прямая $O_1N_1$. Это определяет алгоритм построения.

Построение изображения серединного перпендикуляра отрезка AC

Построение выполняется в следующем порядке: 1. Находим середину отрезка $A_1B_1$ и обозначаем ее $O_1$. 2. Находим середину отрезка $A_1C_1$ и обозначаем ее $K_1$. 3. Проводим прямую через точки $O_1$ и $K_1$. Эта прямая и есть искомое изображение.

Ответ: Изображением серединного перпендикуляра отрезка $AC$ является прямая, проходящая через середины отрезков $A_1B_1$ и $A_1C_1$.

Построение изображения серединного перпендикуляра отрезка BC

Построение выполняется в следующем порядке: 1. Находим середину отрезка $A_1B_1$ и обозначаем ее $O_1$. 2. Находим середину отрезка $B_1C_1$ и обозначаем ее $N_1$. 3. Проводим прямую через точки $O_1$ и $N_1$. Эта прямая и есть искомое изображение.

Ответ: Изображением серединного перпендикуляра отрезка $BC$ является прямая, проходящая через середины отрезков $A_1B_1$ и $B_1C_1$.