Номер 51, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

51. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCD_1B_1C_1D_1$ плоскостью, которая проходит через точки $M, P$ и $K$, принадлежащие соответственно рёбрам $C_1D_1$, $BC$ и $DD_1$.

Для построения сечения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $M$, $P$ и $K$, принадлежащие соответственно рёбрам $C_1D_1$, $BC$ и $DD_1$, выполним последовательность построений.

1. Построение стороны сечения в задней грани.

   Точки $M$ и $K$ лежат в плоскости задней грани $(CDD_1C_1)$. Соединим их, получив отрезок $MK$. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с гранью $CDD_1C_1$ и, следовательно, одной из сторон искомого сечения.

2. Построение стороны сечения в правой грани.

   Продлим прямую $MK$ в плоскости задней грани до пересечения с прямой $CC_1$ в точке $X$. Так как точка $X$ лежит на прямой $MK$, она принадлежит секущей плоскости. Так как $X$ лежит на прямой $CC_1$, она принадлежит плоскости правой грани $(BCC_1B_1)$.

   Теперь в плоскости правой грани $(BCC_1B_1)$ лежат две точки секущей плоскости: данная точка $P$ и построенная точка $X$. Проведём через них прямую $PX$. Эта прямая пересечёт ребро $BB_1$ в точке $N$. Отрезок $PN$ — вторая сторона сечения.

3. Построение стороны сечения в левой грани.

   Левая грань $(ADD_1A_1)$ параллельна правой грани $(BCC_1B_1)$. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения с левой гранью параллельна линии пересечения с правой гранью, т.е. прямой $PN$. Проведём через точку $K$ (лежащую в левой грани) прямую, параллельную $PN$. Эта прямая пересечёт ребро $AD$ в точке $Q$. Отрезок $KQ$ — третья сторона сечения.

4. Построение стороны сечения в нижней грани.

   Точки $P$ и $Q$ лежат в плоскости нижнего основания $(ABCD)$. Соединим их отрезком $QP$, который будет четвёртой стороной сечения.

5. Построение стороны сечения в верхней грани.

   Верхняя грань $(A_1B_1C_1D_1)$ параллельна нижней грани $(ABCD)$. Следовательно, линия пересечения с верхней гранью параллельна прямой $QP$. Проведём через точку $M$ (лежащую в верхней грани) прямую, параллельную $QP$. Эта прямая пересечёт ребро $A_1B_1$ в точке $R$. Отрезок $MR$ — пятая сторона сечения.

6. Завершение построения.

   Построенные точки $N$ (на ребре $BB_1$) и $R$ (на ребре $A_1B_1$) лежат в плоскости передней грани $(ABB_1A_1)$. Соединим их, получив отрезок $NR$. Это шестая и последняя сторона сечения. Заметим, что по свойству параллельных граней, $NR$ будет параллельна $MK$, так как передняя грань параллельна задней. Построение замкнуто.

Ответ:

Искомое сечение — шестиугольник $MKQPNR$, вершины которого последовательно лежат на рёбрах $C_1D_1$, $DD_1$, $AD$, $BC$, $BB_1$ и $A_1B_1$ параллелепипеда.