Номер 53, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

53. На рисунке 47 изображён тетраэдр $DABC$, точка $M$ – середина ребра $CD$. Постройте образ данного тетраэдра при параллельном переносе, в результате которого:

1) образом точки $A$ является точка $B$;

2) образом точки $A$ является точка $M$.

Рис. 47

Параллельный перенос — это преобразование пространства, при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это преобразование задается вектором. Чтобы построить образ фигуры, нужно построить образы всех ее вершин.

1) образом точки А является точка В

В этом случае параллельный перенос задается вектором $\vec{v} = \vec{AB}$. Это означает, что каждая точка исходного тетраэдра смещается на вектор $\vec{AB}$. Найдем образы вершин тетраэдра $DABC$:

• Образом точки $A$ по условию является точка $B$. Обозначим ее $A'$. Таким образом, $A' = B$.
• Образом точки $B$ будет точка $B'$, такая что $\vec{BB'} = \vec{AB}$. Чтобы построить точку $B'$, нужно отложить от точки $B$ вектор, равный вектору $\vec{AB}$.
• Образом точки $C$ будет точка $C'$, такая что $\vec{CC'} = \vec{AB}$. Для построения точки $C'$ нужно построить параллелограмм $ABC'C$, проведя через точку $C$ прямую, параллельную $AB$, а через точку $B$ — прямую, параллельную $AC$.
• Образом точки $D$ будет точка $D'$, такая что $\vec{DD'} = \vec{AB}$. Для построения точки $D'$ нужно построить параллелограмм $ABD'D$, проведя через точку $D$ прямую, параллельную $AB$, а через точку $B$ — прямую, параллельную $AD$.

Соединив полученные точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$, мы получим тетраэдр $A'B'C'D'$, который является образом тетраэдра $DABC$. Так как $A'=B$, то искомый тетраэдр — это $D'BB'C'$.

Ответ: Образом тетраэдра $DABC$ является тетраэдр $D'BB'C'$, где точки $B'$, $C'$, $D'$ строятся так, что $\vec{BB'} = \vec{AB}$, $\vec{CC'} = \vec{AB}$ и $\vec{DD'} = \vec{AB}$.

2) образом точки А является точка М

В этом случае параллельный перенос задается вектором $\vec{u} = \vec{AM}$, где $M$ — середина ребра $CD$. Каждая точка исходного тетраэдра смещается на вектор $\vec{AM}$. Найдем образы вершин тетраэдра $DABC$:

• Образом точки $A$ по условию является точка $M$. Обозначим ее $A''$. Таким образом, $A'' = M$.
• Образом точки $B$ будет точка $B''$, такая что $\vec{BB''} = \vec{AM}$. Для построения точки $B''$ нужно построить параллелограмм $AMB''B$.
• Образом точки $C$ будет точка $C''$, такая что $\vec{CC''} = \vec{AM}$. Для построения точки $C''$ нужно построить параллелограмм $AMC''C$.
• Образом точки $D$ будет точка $D''$, такая что $\vec{DD''} = \vec{AM}$. Для построения точки $D''$ нужно построить параллелограмм $AMD''D$.

Соединив полученные точки $A''$, $B''$, $C''$, $D''$, мы получим тетраэдр $A''B''C''D''$, который является образом тетраэдра $DABC$. Так как $A''=M$, то искомый тетраэдр — это $D''MB''C''$.

Ответ: Образом тетраэдра $DABC$ является тетраэдр $D''MB''C''$, где точки $B''$, $C''$, $D''$ строятся так, что $\vec{BB''} = \vec{AM}$, $\vec{CC''} = \vec{AM}$ и $\vec{DD''} = \vec{AM}$.