Номер 56, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

56. В каком случае параллельной проекцией отрезка является:

1) точка;

2) отрезок, равный данному отрезку?

1) точка;

Параллельной проекцией отрезка является точка тогда и только тогда, когда прямая, содержащая этот отрезок, параллельна направлению проецирования.
Рассмотрим отрезок $AB$, который проецируется на плоскость $\pi$ в направлении, параллельном прямой $l$. Проекцией точки $A$ является точка $A_1$, а проекцией точки $B$ — точка $B_1$. Проекцией всего отрезка $AB$ является отрезок $A_1B_1$. Если проекцией является точка, это означает, что точки $A_1$ и $B_1$ совпадают. По определению параллельной проекции, точка $A_1$ — это точка пересечения плоскости $\pi$ с прямой, проходящей через $A$ параллельно $l$. Аналогично для $B_1$. Точки $A_1$ и $B_1$ совпадут только в том случае, если точки $A$ и $B$ лежат на одной прямой, параллельной направлению проецирования $l$.

Ответ: если прямая, содержащая отрезок, параллельна направлению проецирования.

2) отрезок, равный данному отрезку?

Параллельная проекция отрезка является отрезком, равным по длине данному отрезку, тогда и только тогда, когда данный отрезок параллелен плоскости проекции.
Пусть отрезок $AB$ проецируется на плоскость $\pi$ в отрезок $A_1B_1$. Рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. По определению параллельного проецирования, прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны (так как они обе параллельны направлению проецирования). Следовательно, $ABB_1A_1$ является трапецией или параллелограммом. Длины отрезков $|AB|$ и $|A_1B_1|$ будут равны, если этот четырехугольник является параллелограммом. Для этого необходимо, чтобы стороны $AB$ и $A_1B_1$ были параллельны. Поскольку отрезок $A_1B_1$ лежит в плоскости проекции $\pi$, то и отрезок $AB$ должен быть параллелен плоскости $\pi$.
Важно отметить, что сам отрезок не должен быть параллелен направлению проецирования, иначе его проекцией будет точка (как в пункте 1), а не отрезок равной длины.

Ответ: если отрезок параллелен плоскости проекции, но не параллелен направлению проецирования.