Номер 52, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Преобразование фигур в пространстве.

Параллельное проектирование

52. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 46). При некотором параллельном переносе образом точки $C_1$ является точка $B_1$. Какая фигура при данном параллельном переносе является образом:

1) точки $D$;

2) отрезка $CC_1$;

3) отрезка $CD_1$?

Рис. 46

Параллельный перенос — это преобразование, при котором все точки пространства смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это смещение задается вектором, который называется вектором переноса.

По условию задачи, при данном параллельном переносе образом точки $C_1$ является точка $B_1$. Это означает, что вектор переноса $\vec{v}$ равен вектору $\vec{C_1B_1}$.

Для нахождения образа любой фигуры нужно найти образы ее определяющих точек, сместив их на вектор $\vec{v} = \vec{C_1B_1}$.

Чтобы найти образ точки $D$, нужно отложить от нее вектор, равный вектору переноса $\vec{C_1B_1}$. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ противоположные грани являются равными квадратами, а боковые ребра параллельны и равны. Поэтому вектор $\vec{C_1B_1}$ равен вектору $\vec{DA}$ (они сонаправлены и их длины равны ребру куба). Таким образом, смещение точки $D$ на вектор $\vec{DA}$ приводит ее в точку $A$.

$\vec{DD'} = \vec{C_1B_1} = \vec{DA}$

Следовательно, точка $D'$ совпадает с точкой $A$.

Ответ: точка $A$.

При параллельном переносе образом отрезка является отрезок, равный и параллельный исходному. Чтобы найти образ отрезка $CC_1$, найдем образы его концов — точек $C$ и $C_1$.

1. Образ точки $C_1$ дан по условию — это точка $B_1$.

2. Найдем образ точки $C$. Для этого сместим ее на вектор переноса $\vec{C_1B_1}$. В кубе вектор $\vec{C_1B_1}$ равен вектору $\vec{CB}$. Значит, точка $C$ переходит в точку $B$.

Таким образом, концы отрезка $CC_1$ переходят в точки $B$ и $B_1$. Следовательно, образом отрезка $CC_1$ является отрезок $BB_1$.

Ответ: отрезок $BB_1$.

Чтобы найти образ отрезка $CD_1$, найдем образы его концов — точек $C$ и $D_1$.

1. Как было найдено в предыдущем пункте, образ точки $C$ — это точка $B$.

2. Найдем образ точки $D_1$. Для этого сместим ее на вектор переноса $\vec{C_1B_1}$. В кубе вектор $\vec{C_1B_1}$ равен вектору $\vec{D_1A_1}$. Значит, точка $D_1$ переходит в точку $A_1$.

Таким образом, концы отрезка $CD_1$ переходят в точки $B$ и $A_1$. Следовательно, образом отрезка $CD_1$ является отрезок $BA_1$.

Ответ: отрезок $A_1B$.