Номер 45, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45. Плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны. Через точку $ M $, находящуюся между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ в точках $ C_1 $ и $ D_1 $, а другая — в точках $ C_2 $ и $ D_2 $ соответственно. Найдите угол $ MD_1D_2 $, если $ \angle C_1MC_2 = 56^\circ $, $ \angle C_1C_2M = 43^\circ $.

Две пересекающиеся в точке $M$ прямые $C_1D_1$ и $C_2D_2$ задают единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\gamma$. Все точки, упомянутые в задаче ($C_1, C_2, D_1, D_2, M$), лежат в этой плоскости.

Плоскость $\gamma$ пересекает данную по условию плоскость $\alpha$ по прямой, которая проходит через точки $C_1$ и $C_2$, то есть по прямой $C_1C_2$. Аналогично, плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\beta$ по прямой $D_1D_2$.

По свойству параллельных плоскостей, если третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Поскольку по условию плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), то прямые $C_1C_2$ и $D_1D_2$ также параллельны ($C_1C_2 \parallel D_1D_2$).

Теперь рассмотрим треугольники $\Delta C_1MC_2$ и $\Delta D_1MD_2$, которые лежат в плоскости $\gamma$. В этих треугольниках:

• Углы $\angle C_1MC_2$ и $\angle D_1MD_2$ равны как вертикальные.
• Углы $\angle MC_1C_2$ и $\angle MD_1D_2$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $C_1C_2$ и $D_1D_2$ и секущей $C_1D_1$.
• Углы $\angle C_1C_2M$ и $\angle D_1D_2M$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $C_1C_2$ и $D_1D_2$ и секущей $C_2D_2$.

Следовательно, треугольники $\Delta C_1MC_2$ и $\Delta D_1MD_2$ подобны по трем углам. Из подобия следует равенство соответствующих углов. Нам нужно найти угол $\angle MD_1D_2$. Из доказанного выше, он равен углу $\angle MC_1C_2$.

Найдем величину угла $\angle MC_1C_2$ из треугольника $\Delta C_1MC_2$, используя теорему о сумме углов треугольника, которая составляет $180^\circ$: $\angle MC_1C_2 + \angle C_1MC_2 + \angle C_1C_2M = 180^\circ$

Подставим известные из условия значения углов $\angle C_1MC_2 = 56^\circ$ и $\angle C_1C_2M = 43^\circ$: $\angle MC_1C_2 + 56^\circ + 43^\circ = 180^\circ$ $\angle MC_1C_2 + 99^\circ = 180^\circ$ $\angle MC_1C_2 = 180^\circ - 99^\circ$ $\angle MC_1C_2 = 81^\circ$

Так как $\angle MD_1D_2 = \angle MC_1C_2$, то искомый угол $\angle MD_1D_2$ равен $81^\circ$.

Ответ: $81^\circ$.