Номер 42, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. Диагонали трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) параллельны плоскости $\beta$. Через точки $B$ и $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\beta$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $BB_1C_1C$ — параллелограмм.

Для доказательства того, что четырёхугольник $BB_1C_1C$ является параллелограммом, мы докажем, что у него есть пара противоположных сторон, которые равны и параллельны.

1. Пусть плоскость трапеции $ABCD$ называется $\alpha$. Диагонали трапеции $AC$ и $BD$ являются пересекающимися прямыми, которые лежат в плоскости $\alpha$. По условию задачи, эти диагонали параллельны плоскости $\beta$, то есть $AC \parallel \beta$ и $BD \parallel \beta$.

   Применим признак параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны. В нашем случае прямые $AC$ и $BD$ лежат в плоскости $\alpha$, пересекаются и параллельны плоскости $\beta$. Следовательно, плоскость трапеции $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$: $\alpha \parallel \beta$.

2. По условию, через точки $B$ и $C$ проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость $\beta$ в точках $B_1$ и $C_1$. Это означает, что отрезки $BB_1$ и $CC_1$ лежат на параллельных прямых. Таким образом, одна пара противоположных сторон четырёхугольника $BB_1C_1C$ параллельна: $BB_1 \parallel CC_1$.

3. Точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$, а точки $B_1$ и $C_1$ лежат в плоскости $\beta$. Мы доказали, что $\alpha \parallel \beta$. Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ являются отрезками параллельных прямых, заключёнными между двумя параллельными плоскостями. По свойству параллельных плоскостей, отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны. Следовательно, $BB_1 = CC_1$.

4. Таким образом, в четырёхугольнике $BB_1C_1C$ противоположные стороны $BB_1$ и $CC_1$ одновременно и параллельны ($BB_1 \parallel CC_1$) и равны по длине ($BB_1 = CC_1$).

   По признаку параллелограмма, если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник является параллелограммом. Следовательно, $BB_1C_1C$ — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник $BB_1C_1C$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны $BB_1$ и $CC_1$ равны и параллельны.