Номер 37, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. Постройте точку пересечения с плоскостью нижнего основания треугольной призмы прямой, проходящей через две точки, одна из которых принадлежит боковому ребру призмы, а другая — боковой грани, которой это ребро не принадлежит.

Для решения задачи введём обозначения. Пусть дана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ — нижнее основание. Согласно условию, заданы две точки: точка $M$, принадлежащая боковому ребру (для определённости, пусть $M \in AA_1$), и точка $N$, принадлежащая боковой грани, которой это ребро не принадлежит (соответственно, пусть $N \in (BB_1C_1C)$). Требуется построить точку $P$ — точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью нижнего основания $(ABC)$.

Для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью используется метод вспомогательной плоскости. Суть метода заключается в том, чтобы провести через заданную прямую ($MN$) вспомогательную плоскость ($\alpha$), найти линию её пересечения с заданной плоскостью ($(ABC)$), и затем найти точку пересечения исходной прямой с этой линией. Искомая точка $P$ будет результатом пересечения $P = MN \cap (ABC)$.

Построение выполняется следующим образом:
1. В качестве вспомогательной плоскости $\alpha$ выберем плоскость, проходящую через прямую $AA_1$ (на которой лежит точка $M$) и точку $N$. Обозначим эту плоскость как $\alpha=(AA_1, N)$. Прямая $MN$ целиком лежит в этой плоскости, так как обе точки $M$ и $N$ принадлежат $\alpha$ ($M \in AA_1 \subset \alpha$ и $N \in \alpha$).

2. Далее найдём линию пересечения (след) плоскости $\alpha$ с плоскостью нижнего основания $(ABC)$. Для этого достаточно найти две общие точки этих плоскостей.
• Первой общей точкой является точка $A$, так как она принадлежит прямой $AA_1$ (и, следовательно, плоскости $\alpha$) и одновременно является вершиной нижнего основания (то есть, $A \in (ABC)$).
• Для нахождения второй общей точки проведём в плоскости $\alpha$ прямую $n$ через точку $N$ параллельно прямой $AA_1$. Так как в призме все боковые рёбра параллельны ($AA_1 \parallel BB_1$), то прямая $n$ будет также параллельна $BB_1$ и, следовательно, будет полностью лежать в плоскости боковой грани $(BB_1C_1C)$.
• Найдём точку пересечения прямой $n$ с плоскостью $(ABC)$. Поскольку $n \subset (BB_1C_1C)$, эта точка пересечения должна лежать на линии пересечения плоскостей $(BB_1C_1C)$ и $(ABC)$, то есть на прямой $BC$. Обозначим эту точку $K$. Таким образом, $K = n \cap BC$.
• Точка $K$ принадлежит плоскости $\alpha$ (так как $K \in n \subset \alpha$) и плоскости $(ABC)$ (так как $K \in BC \subset (ABC)$). Следовательно, $K$ — вторая общая точка.
• Линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $(ABC)$ — это прямая, проходящая через точки $A$ и $K$. Обозначим её $s = AK$.

3. Наконец, найдём искомую точку $P$. Точка $P$ является точкой пересечения прямой $MN$ с плоскостью $(ABC)$. Так как $P \in (ABC)$ и $P \in MN \subset \alpha$, то точка $P$ должна лежать на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой $s=AK$. Прямые $MN$ и $AK$ лежат в одной плоскости $\alpha$, поэтому для нахождения точки $P$ достаточно найти их точку пересечения.
Итак, искомая точка $P$ есть пересечение прямых $MN$ и $AK$: $P = MN \cap AK$.

Ответ: Искомая точка $P$ строится как точка пересечения прямой $MN$ и прямой $AK$, где точка $K$ является точкой пересечения прямой, проходящей через $N$ параллельно боковому ребру $AA_1$ (на котором лежит точка $M$), с прямой $BC$ (на которой лежит ребро основания грани, содержащей точку $N$).