Номер 32, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

32. Вне плоскости параллелограмма $ABCD$ выбрали точку $E$. На отрезке $BE$ отметили точку $F$ так, что $BF : FE = 4 : 1$ (рис. 43). Постройте точку $M$ пересечения плоскости $AFD$ и прямой $CE$ и найдите отрезок $FM$, если $BC = 12$ см.

Рис. 43

Построение точки М

Точка M является точкой пересечения прямой CE и плоскости (AFD). Для её построения необходимо найти прямую, по которой плоскость (AFD) пересекается с некоторой плоскостью, содержащей прямую CE. В качестве такой вспомогательной плоскости удобно выбрать плоскость (BCE).

Алгоритм построения:

1. Прямая CE лежит в плоскости (BCE). Искомая точка M, принадлежащая прямой CE, также будет лежать в этой плоскости.
2. По определению, точка M также лежит в плоскости (AFD). Следовательно, точка M принадлежит линии пересечения плоскостей (AFD) и (BCE).
3. Найдем линию пересечения этих плоскостей. Так как ABCD — параллелограмм, то его противоположные стороны параллельны: $AD \parallel BC$.
4. Прямая AD содержится в плоскости (AFD), а прямая BC — в плоскости (BCE). Согласно свойству, если две параллельные прямые лежат в пересекающихся плоскостях, то линия их пересечения параллельна этим прямым. Таким образом, линия пересечения плоскостей (AFD) и (BCE) параллельна прямым AD и BC.
5. Найдем общую точку плоскостей (AFD) и (BCE). По условию, точка F лежит на отрезке BE. Так как $BE \subset (BCE)$, то и $F \in (BCE)$. С другой стороны, плоскость (AFD) определяется тремя точками A, F, D, следовательно, точка F принадлежит плоскости (AFD). Таким образом, F — это общая точка двух плоскостей.
6. Линия пересечения плоскостей (AFD) и (BCE) — это прямая, проходящая через их общую точку F параллельно прямым AD и BC.
7. Поскольку точка M лежит как на прямой CE, так и на линии пересечения плоскостей (AFD) и (BCE), то M является точкой пересечения прямой CE и прямой, проходящей через F параллельно BC.

Ответ: Для построения точки М необходимо в плоскости треугольника BCE провести прямую через точку F параллельно стороне BC. Точка пересечения этой прямой с прямой CE и будет искомой точкой М.

Нахождение отрезка FM

Рассмотрим треугольник BCE. По построению, точка М лежит на стороне CE, точка F лежит на стороне BE, и прямая FM параллельна стороне BC ($FM \parallel BC$).

По теореме о подобных треугольниках, если прямая, параллельная одной из сторон треугольника, пересекает две другие стороны, то она отсекает от него треугольник, подобный данному. Следовательно, треугольник EFM подобен треугольнику EBC: $$ \triangle EFM \sim \triangle EBC $$

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно: $$ \frac{FM}{BC} = \frac{EF}{EB} = \frac{EM}{EC} $$

По условию задачи дано отношение $BF : FE = 4 : 1$. Обозначим длину отрезка $FE$ как $x$, тогда длина отрезка $BF$ будет $4x$. Длина всего отрезка $BE$ равна сумме длин его частей: $$ EB = BF + FE = 4x + x = 5x $$

Найдем отношение длин сторон, которое является коэффициентом подобия: $$ \frac{EF}{EB} = \frac{x}{5x} = \frac{1}{5} $$

Теперь, используя пропорцию и известную длину стороны $BC = 12$ см, найдем длину отрезка FM: $$ \frac{FM}{BC} = \frac{1}{5} $$ $$ \frac{FM}{12} = \frac{1}{5} $$ $$ FM = 12 \cdot \frac{1}{5} = \frac{12}{5} = 2,4 \text{ см} $$

Ответ: 2,4 см.