Номер 33, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

33. На ребре $SB$ тетраэдра $SABC$ отметили точку $D$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $C$ и $D$ и параллельной прямой $AB$.

Обозначим искомую плоскость сечения как $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точки $C$ и $D$ и параллельна прямой $AB$.

Построение сечения:

1. Так как точки $C$ и $D$ принадлежат секущей плоскости $\alpha$, то отрезок $CD$ является одной из сторон искомого сечения. Этот отрезок лежит в плоскости грани $SBC$.
2. Рассмотрим плоскость грани $SAB$. Эта плоскость содержит прямую $AB$. По условию, секущая плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AB$. Точка $D$ принадлежит как секущей плоскости $\alpha$, так и плоскости грани $SAB$ (поскольку $D \in SB$).
   Известно, что если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, то линия их пересечения параллельна этой прямой. В нашем случае, плоскость $(SAB)$ проходит через прямую $AB$, которая параллельна плоскости $\alpha$. Следовательно, линия пересечения плоскостей $(SAB)$ и $\alpha$ должна быть параллельна прямой $AB$.
   Поскольку точка $D$ принадлежит обеим плоскостям, она лежит на их линии пересечения. Таким образом, в плоскости $SAB$ проводим через точку $D$ прямую, параллельную $AB$. Пусть эта прямая пересекает ребро $SA$ в точке $E$. Отрезок $DE$ – это вторая сторона искомого сечения, и по построению $DE \parallel AB$.
3. Соединяем точки $E$ и $C$. Обе точки лежат в секущей плоскости $\alpha$. Также они обе лежат в плоскости грани $SAC$. Следовательно, отрезок $CE$ является третьей стороной сечения и лежит в грани $SAC$.
4. Полученный треугольник $CDE$ является искомым сечением. Проверим, удовлетворяет ли он условиям задачи:
   • Плоскость $(CDE)$ проходит через точки $C$ и $D$ по построению.
   • Плоскость $(CDE)$ параллельна прямой $AB$ по признаку параллельности прямой и плоскости, так как она содержит прямую $DE$, параллельную $AB$.

Ответ: Искомое сечение – треугольник $CDE$, где $E$ – точка на ребре $SA$, такая, что отрезок $DE$ параллелен прямой $AB$.