Номер 36, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

36. Постройте сечение пирамиды $SABC$ плоскостью, которая проходит через точки $D$ и $E$, принадлежащие соответственно рёбрам $AB$ и $BC$, и параллельна прямой $SA$.

Решение

Обозначим искомую секущую плоскость через $\alpha$. По условию, эта плоскость проходит через точки D и E, где $D \in AB$ и $E \in BC$, и параллельна прямой SA.

Построение сечения выполняется в несколько шагов:

1. Соединим точки D и E. Так как обе точки лежат в плоскости основания (ABC), то отрезок DE является следом секущей плоскости на плоскости основания и, следовательно, одной из сторон искомого сечения.

2. Построим линию пересечения секущей плоскости $\alpha$ с гранью (SAB). Плоскость (SAB) содержит прямую SA, которой по условию параллельна плоскость $\alpha$. Точка D принадлежит как секущей плоскости $\alpha$, так и грани (SAB), поскольку лежит на ребре AB. Согласно свойству, если плоскость ($\alpha$) проходит через прямую, не лежащую в другой плоскости ((SAB)), и параллельна некоторой прямой (SA) в этой плоскости, то линия пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой (SA).

3. Проведем в плоскости грани (SAB) через точку D прямую, параллельную SA. Эта прямая пересечет ребро SB в некоторой точке F. Отрезок DF — вторая сторона искомого сечения. По построению $DF \parallel SA$.

4. Соединим точки E и F. Обе точки лежат в плоскости грани (SBC) ($E \in BC$, $F \in SB$), поэтому отрезок EF также принадлежит сечению и является его третьей стороной.

Таким образом, искомое сечение представляет собой треугольник DEF. Проверим выполнение условий: плоскость (DEF) проходит через точки D и E по построению. Также, поскольку прямая DF, лежащая в этой плоскости, параллельна прямой SA, то вся плоскость (DEF) параллельна прямой SA по признаку параллельности прямой и плоскости.

Ответ: Искомое сечение — треугольник DEF, где точка F является точкой пересечения ребра SB с прямой, проведенной в плоскости (SAB) через точку D параллельно прямой SA.