Номер 43, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

43. Сторона $BC$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$, параллельная плоскости $\alpha$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно. Найдите отрезок $BC$, если $B_1C_1 = 12$ см, $AC_1 : C_1C = 3 : 5$.

По условию, сторона $BC$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$, а плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

Плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, является секущей для двух параллельных плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Согласно свойству параллельных плоскостей, линии пересечения секущей плоскости с параллельными плоскостями параллельны между собой. Следовательно, прямая $B_1C_1$, по которой плоскость $\beta$ пересекает плоскость треугольника, параллельна прямой $BC$, по которой плоскость $\alpha$ пересекает плоскость треугольника. Таким образом, $B_1C_1 \parallel BC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AB_1C_1$ и $\triangle ABC$. Поскольку отрезок $B_1C_1$ параллелен стороне $BC$, эти треугольники подобны по двум углам:
1. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.
2. Углы $\angle AC_1B_1$ и $\angle ACB$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $B_1C_1$ и $BC$ и секущей $AC$.

Из подобия треугольников ($\triangle AB_1C_1 \sim \triangle ABC$) следует пропорциональность их соответственных сторон: $$ \frac{AC_1}{AC} = \frac{B_1C_1}{BC} $$

По условию задачи дано отношение $AC_1 : C_1C = 3 : 5$. Пусть $AC_1 = 3x$, а $C_1C = 5x$ для некоторого коэффициента пропорциональности $x > 0$. Тогда длина всей стороны $AC$ будет равна сумме длин её частей: $$ AC = AC_1 + C_1C = 3x + 5x = 8x $$

Теперь мы можем найти отношение длин сторон $AC_1$ и $AC$, которое является коэффициентом подобия треугольников: $$ \frac{AC_1}{AC} = \frac{3x}{8x} = \frac{3}{8} $$

Подставим известные значения в пропорцию. Нам дано, что $B_1C_1 = 12$ см. $$ \frac{3}{8} = \frac{12}{BC} $$

Выразим и найдем из этой пропорции длину отрезка $BC$: $$ BC = \frac{12 \cdot 8}{3} = 4 \cdot 8 = 32 \text{ см} $$

Ответ: 32 см.