Номер 47, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. Постройте сечение призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ плоскостью, проходящей через точку $D$, принадлежащую ребру $A_1 C_1$, и прямую $AB$.

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через прямую $AB$ и точку $D$, принадлежащую ребру $A_1C_1$, выполним следующие шаги. Обозначим секущую плоскость как $\alpha$.

1. Так как секущая плоскость $\alpha$ проходит через прямую $AB$, а $AB$ является ребром призмы, то отрезок $AB$ является одной из сторон искомого сечения.
2. Основания призмы лежат в параллельных плоскостях: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$. По свойству, если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Секущая плоскость $\alpha$ пересекает плоскость нижнего основания $(ABC)$ по прямой $AB$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ будет прямой, параллельной $AB$.
3. Точка $D$ принадлежит ребру $A_1C_1$ и, по условию, лежит в секущей плоскости $\alpha$. Это означает, что линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ проходит через точку $D$.
4. Исходя из пунктов 2 и 3, проведем в плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ через точку $D$ прямую $l$, параллельную прямой $AB$ ($l \parallel AB$). Эта прямая $l$ пересечет ребро $B_1C_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $E$. Отрезок $DE$ является второй стороной искомого сечения.
5. Таким образом, мы получили четыре вершины сечения: $A, B, E, D$. Соединим их последовательно, чтобы получить замкнутый многоугольник:
   • $AB$ — сторона сечения на грани $ABB_1A_1$.
   • $AD$ — сторона сечения. Точки $A$ и $D$ лежат в плоскости боковой грани $ACC_1A_1$, следовательно, отрезок $AD$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с этой гранью.
   • $BE$ — сторона сечения. Точки $B$ и $E$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$, следовательно, отрезок $BE$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с этой гранью.
   • $DE$ — сторона сечения на грани верхнего основания $A_1B_1C_1$.
6. Искомым сечением является четырехугольник $ABED$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $ABED$, где точка $E$ является точкой пересечения ребра $B_1C_1$ с прямой, проведенной в плоскости $(A_1B_1C_1)$ через точку $D$ параллельно прямой $AB$.