Номер 40, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

40. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. В плоскости $\alpha$ выбраны точки $C$ и $D$, а в плоскости $\beta$ — точки $C_1$ и $D_1$ такие, что прямые $CC_1$ и $DD_1$ параллельны. Найдите отрезки $CC_1$ и $CD$, если $DD_1 = 12$ см, $C_1D_1 = 17$ см.

По условию задачи даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$). Точки $C, D$ лежат в плоскости $\alpha$, а точки $C_1, D_1$ — в плоскости $\beta$. Также известно, что прямые $CC_1$ и $DD_1$ параллельны ($CC_1 \parallel DD_1$).

Рассмотрим четырехугольник $CC_1D_1D$.

1. Поскольку прямые $CC_1$ и $DD_1$ параллельны, через них можно провести единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\gamma$. Таким образом, все четыре точки $C, C_1, D_1, D$ лежат в одной плоскости $\gamma$.

2. Плоскость $\gamma$ пересекает две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. По свойству параллельных плоскостей, если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Линией пересечения плоскости $\gamma$ и плоскости $\alpha$ является прямая $CD$. Линией пересечения плоскости $\gamma$ и плоскости $\beta$ является прямая $C_1D_1$. Следовательно, прямые $CD$ и $C_1D_1$ параллельны ($CD \parallel C_1D_1$).

3. В четырехугольнике $CC_1D_1D$, лежащем в плоскости $\gamma$, противолежащие стороны попарно параллельны:

• $CC_1 \parallel DD_1$ (по условию задачи).
• $CD \parallel C_1D_1$ (как доказано выше).

Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Значит, $CC_1D_1D$ — это параллелограмм.

4. В параллелограмме противолежащие стороны равны. Отсюда следует, что $CC_1 = DD_1$ и $CD = C_1D_1$.

Теперь, используя данные из условия, найдем искомые длины отрезков.

Нахождение отрезка $CC_1$

Из свойства параллелограмма следует, что $CC_1 = DD_1$. По условию, длина отрезка $DD_1$ равна 12 см.

Следовательно, $CC_1 = 12$ см.

Ответ: $CC_1 = 12$ см.

Нахождение отрезка $CD$

Из свойства параллелограмма следует, что $CD = C_1D_1$. По условию, длина отрезка $C_1D_1$ равна 17 см.

Следовательно, $CD = 17$ см.

Ответ: $CD = 17$ см.