Номер 35, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. Постройте сечение пирамиды $SABC$ (рис. 44) плоскостью, которая проходит через точку $P$ на ребре $SB$ и параллельна прямым $BC$ и $SA$.

Рис. 44

Пусть $\alpha$ — искомая плоскость сечения. По условию, плоскость $\alpha$ должна проходить через точку $P$, лежащую на ребре $SB$, и быть параллельной двум скрещивающимся прямым $BC$ и $SA$.

Построение

Построение основано на свойстве: если плоскость, параллельная некоторой прямой, пересекает другую плоскость, содержащую эту прямую, то линия их пересечения параллельна данной прямой.

1. В плоскости грани $SBC$ проведем через точку $P$ прямую, параллельную $BC$. Пусть она пересекает ребро $SC$ в точке $Q$. Так как плоскость сечения $\alpha$ параллельна $BC$ и $BC \subset (SBC)$, то отрезок $PQ$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $SBC$, и при этом $PQ \parallel BC$.

2. В плоскости грани $SAB$ проведем через точку $P$ прямую, параллельную $SA$. Пусть она пересекает ребро $AB$ в точке $R$. Так как плоскость сечения $\alpha$ параллельна $SA$ и $SA \subset (SAB)$, то отрезок $PR$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $SAB$, и при этом $PR \parallel SA$.

3. В плоскости основания $ABC$ проведем через точку $R$ прямую, параллельную $BC$. Пусть она пересекает ребро $AC$ в точке $T$. Так как плоскость сечения $\alpha$ параллельна $BC$ и $BC \subset (ABC)$, то отрезок $RT$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с основанием $ABC$, и при этом $RT \parallel BC$.

4. Соединим точки $Q$ и $T$. Отрезок $QT$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $SAC$. Четырехугольник $PRTQ$ — искомое сечение.

Обоснование

Построенная плоскость $PRTQ$ проходит через точку $P$ по построению. Докажем, что она удовлетворяет условиям параллельности.

Плоскость $PRTQ$ параллельна прямой $BC$, так как она содержит прямую $PQ$, которая по построению параллельна $BC$. (Признак параллельности прямой и плоскости).

Плоскость $PRTQ$ параллельна прямой $SA$, так как она содержит прямую $PR$, которая по построению параллельна $SA$. Для полной уверенности в корректности построения докажем, что четвертая сторона сечения, $QT$, также параллельна $SA$.

Воспользуемся теоремой о пропорциональных отрезках (обобщенной теоремой Фалеса):
• В треугольнике $SAB$ из $PR \parallel SA$ следует, что $\frac{BP}{BS} = \frac{BR}{BA}$.
• В треугольнике $SBC$ из $PQ \parallel BC$ следует, что $\frac{SP}{SB} = \frac{SQ}{SC}$. Из этого соотношения получаем $1 - \frac{SP}{SB} = 1 - \frac{SQ}{SC}$, что равносильно $\frac{BP}{BS} = \frac{CQ}{CS}$.
• В треугольнике $ABC$ из $RT \parallel BC$ следует, что $\frac{AR}{AB} = \frac{AT}{AC}$.
Сопоставляя первые два результата, имеем: $\frac{BR}{BA} = \frac{CQ}{CS}$.
Так как $\frac{AR}{AB} = 1 - \frac{BR}{BA}$ и $\frac{SQ}{SC} = 1 - \frac{CQ}{CS}$, то из равенства $\frac{BR}{BA} = \frac{CQ}{CS}$ следует равенство $\frac{AR}{AB} = \frac{SQ}{SC}$.
Используя третий результат ($\frac{AR}{AB} = \frac{AT}{AC}$), получаем: $\frac{AT}{AC} = \frac{SQ}{SC}$.
Это означает, что $1 - \frac{AT}{AC} = 1 - \frac{SQ}{SC}$, то есть $\frac{CT}{AC} = \frac{CQ}{SC}$.
Данное соотношение в треугольнике $SAC$ по теореме, обратной теореме Фалеса, доказывает, что $QT \parallel SA$.
Таким образом, плоскость сечения $PRTQ$ содержит две пересекающиеся прямые $PR$ и $PQ$, причем $PR \parallel SA$ и $PQ \parallel BC$. Следовательно, плоскость $PRTQ$ параллельна прямым $SA$ и $BC$, и построение выполнено верно.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $PRTQ$, вершины которого строятся согласно описанному алгоритму. Этот четырехугольник является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны ($PR \parallel QT$ как параллельные $SA$, и $PQ \parallel RT$ как параллельные $BC$).