Номер 38, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

38. Постройте точку пересечения с плоскостью нижнего основания четырёхугольной призмы прямой, проходящей через две точки, принадлежащие двум соседним боковым граням призмы.

Для построения искомой точки пересечения воспользуемся методом проекций. Пусть дана четырёхугольная призма $ABCDA'B'C'D'$, где $ABCD$ — плоскость нижнего основания. Точка $M$ принадлежит плоскости боковой грани $ABB'A'$, а точка $N$ — плоскости соседней боковой грани $BCC'B'$.

Алгоритм построения

1. Построим проекцию $M_1$ точки $M$ на прямую $AB$, лежащую в плоскости нижнего основания. Для этого через точку $M$ проведём прямую, параллельную боковому ребру призмы (например, ребру $AA'$ или $BB'$). Точка пересечения этой прямой с прямой $AB$ и будет точкой $M_1$.
2. Аналогичным образом построим проекцию $N_1$ точки $N$ на прямую $BC$. Проведём через точку $N$ прямую, параллельную боковому ребру (например, $BB'$ или $CC'$). Точка пересечения этой прямой с прямой $BC$ и будет точкой $N_1$.
3. Точки $M_1$ и $N_1$ лежат в плоскости нижнего основания $(ABCD)$. Проведём через них прямую $M_1N_1$. Эта прямая является проекцией прямой $MN$ на плоскость нижнего основания.
4. Проведём прямую $MN$ через заданные точки.
5. Найдём точку пересечения прямых $MN$ и $M_1N_1$. Обозначим эту точку $P$.

Точка $P$ является искомой точкой пересечения прямой $MN$ с плоскостью нижнего основания призмы.

Обоснование

Построение основано на методе вспомогательной секущей плоскости. Прямые $MM_1$ и $NN_1$ параллельны друг другу по построению, так как они обе параллельны боковым рёбрам призмы. Две параллельные прямые задают плоскость, назовём её $\sigma$.
Искомая прямая $MN$ лежит в плоскости $\sigma$ (так как точки $M$ и $N$ принадлежат $\sigma$).
Проекция $M_1N_1$ также лежит в плоскости $\sigma$ (так как точки $M_1$ и $N_1$ принадлежат $\sigma$).
Искомая точка пересечения $P$ по определению принадлежит как прямой $MN$, так и плоскости нижнего основания $(ABCD)$.
Поскольку $P \in MN$ и $MN \subset \sigma$, то точка $P$ принадлежит и плоскости $\sigma$.
Таким образом, точка $P$ принадлежит обеим плоскостям: $\sigma$ и $(ABCD)$, а значит, лежит на линии их пересечения. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $M_1N_1$, так как точки $M_1$ и $N_1$ по построению лежат в обеих плоскостях.
Следовательно, искомая точка $P$ является общей точкой для прямых $MN$ и $M_1N_1$, то есть их точкой пересечения: $P = MN \cap M_1N_1$. Построение верно.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения прямой, проходящей через данные точки $M$ и $N$, и прямой, проходящей через проекции этих точек на плоскость нижнего основания. Алгоритм построения искомой точки $P$: 1. Найти точку $M_1$ как пересечение прямой, содержащей ребро нижнего основания грани, которой принадлежит $M$, с прямой, проходящей через $M$ параллельно боковому ребру призмы. 2. Аналогично найти точку $N_1$ на ребре нижнего основания грани, которой принадлежит $N$. 3. Провести прямую $M_1N_1$, лежащую в плоскости основания. 4. Провести прямую $MN$. 5. Искомая точка $P$ есть точка пересечения прямых $MN$ и $M_1N_1$.