Номер 44, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$ и прямой $a$, не лежащей в плоскости $\beta$. Докажите, что прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$.

Дано:

Плоскость $α$ параллельна плоскости $β$ ($α \parallel β$).

Прямая $a$ параллельна плоскости $α$ ($a \parallel α$).

Прямая $a$ не лежит в плоскости $β$ ($a \not\subset β$).

Доказать:

Прямая $a$ параллельна плоскости $β$ ($a \parallel β$).

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что прямая $a$ не параллельна плоскости $β$. Так как по условию прямая $a$ не лежит в плоскости $β$, то из нашего предположения следует, что она должна пересекать плоскость $β$ в некоторой точке. Обозначим эту точку пересечения $M$. Таким образом, мы предполагаем, что $a \cap β = \{M\}$.

1. Поскольку прямая $a$ параллельна плоскости $α$ ($a \parallel α$), это означает, что в плоскости $α$ существует прямая, параллельная прямой $a$. Выберем в плоскости $α$ произвольную точку $P$ и проведем через нее прямую $a'$, параллельную прямой $a$. Такая прямая $a'$ будет полностью лежать в плоскости $α$ ($a' \subset α$).

2. Так как мы имеем две параллельные прямые $a$ и $a'$, то через них можно провести единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $γ$. Таким образом, прямые $a$ и $a'$ лежат в плоскости $γ$ ($a \subset γ$ и $a' \subset γ$).

3. Рассмотрим пересечение плоскости $γ$ с плоскостями $α$ и $β$.

   • Плоскость $γ$ пересекает плоскость $α$ по прямой $a'$ (так как по построению $a' \subset γ$ и $a' \subset α$).
   • Плоскость $γ$ пересекает плоскость $β$. Это следует из нашего предположения, что точка $M$ принадлежит прямой $a$ (а значит и плоскости $γ$) и одновременно плоскости $β$. Следовательно, плоскости $γ$ и $β$ имеют общую точку $M$ и пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую $b$. Таким образом, $b = γ \cap β$.

4. По условию задачи плоскости $α$ и $β$ параллельны ($α \parallel β$). По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей, линии их пересечения параллельны. В нашем случае плоскость $γ$ пересекает параллельные плоскости $α$ и $β$ по прямым $a'$ и $b$ соответственно. Отсюда следует, что $a' \parallel b$.

5. Теперь рассмотрим взаимосвязь прямых $a$, $a'$ и $b$:

   • $a \parallel a'$ (по построению в шаге 1).
   • $a' \parallel b$ (доказано в шаге 4).

   Из этих двух утверждений, по свойству транзитивности параллельности прямых в пространстве, следует, что $a \parallel b$.

6. Теперь вернемся к точке $M$. По нашему исходному предположению, $M$ – это точка пересечения прямой $a$ и плоскости $β$.

   • Из $M = a \cap β$ следует, что $M \in a$ и $M \in β$.
   • Так как $a \subset γ$, то из $M \in a$ следует, что $M \in γ$.

   Мы получили, что точка $M$ принадлежит и плоскости $γ$, и плоскости $β$. Это означает, что точка $M$ должна лежать на линии их пересечения, то есть на прямой $b$. Итак, $M \in b$.

7. В итоге мы пришли к следующему: точка $M$ принадлежит как прямой $a$, так и прямой $b$. Это означает, что прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$. Однако в шаге 5 мы строго доказали, что $a \parallel b$. Параллельные прямые могут иметь общую точку только в том случае, если они совпадают. Но прямые $a$ и $b$ не могут совпадать, так как $b \subset β$, а по условию задачи $a \not\subset β$.

Таким образом, мы пришли к противоречию: различные параллельные прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться. Это противоречие является следствием нашего первоначального предположения о том, что прямая $a$ пересекает плоскость $β$.

Следовательно, это предположение неверно. Прямая $a$ не пересекает плоскость $β$. А так как по условию она и не лежит в этой плоскости, то ей остается быть только параллельной плоскости $β$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что прямая $a$ параллельна плоскости $β$, доказано.