Номер 50, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

50. На рёбрах $BB_1$, $CC_1$ и $CD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $M$, $N$ и $E$ (рис. 45). Постройте сечение куба плоскостью $MNE$.

Рис. 45

Рис. 45

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $MNE$ необходимо последовательно найти линии пересечения этой плоскости с гранями куба. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Построение отрезков сечения в гранях, содержащих данные точки

   Точки $N$ и $E$ лежат в плоскости задней грани $DCC_1D_1$. Соединим их, получив отрезок $NE$, который является стороной искомого сечения.

   Аналогично, точки $M$ и $N$ лежат в плоскости правой грани $BCC_1B_1$. Соединив их, получим отрезок $MN$ — еще одну сторону сечения.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости нижнего основания

   Чтобы найти линию пересечения (след) секущей плоскости $MNE$ с плоскостью нижнего основания $ABCD$, найдем вторую, помимо $E$, общую точку этих плоскостей.

   Для этого продлим прямую $MN$, лежащую в секущей плоскости, до пересечения с плоскостью $ABCD$. Прямая $MN$ лежит в плоскости $BCC_1B_1$, которая пересекается с плоскостью $ABCD$ по прямой $BC$. Прямые $MN$ и $BC$ лежат в одной плоскости ($BCC_1B_1$) и не параллельны, следовательно, они пересекаются. Обозначим точку их пересечения $K$.

   $K = MN \cap BC$

   Точка $K$ принадлежит секущей плоскости $MNE$ и плоскости основания $ABCD$. Точка $E$ также принадлежит обеим плоскостям. Таким образом, прямая $EK$ является следом секущей плоскости на плоскости основания $ABCD$.

3. Нахождение стороны сечения на нижней грани

   След $EK$ пересекает ребра куба, лежащие в плоскости основания. Точка $E$ уже лежит на ребре $CD$. Найдем точку пересечения прямой $EK$ с ребром $AD$. Обозначим эту точку $P$.

   $P = EK \cap AD$

   Отрезок $PE$ является стороной сечения, лежащей на нижней грани $ABCD$.

4. Построение стороны сечения на левой грани

   Левая грань $ADD_1A_1$ параллельна правой грани $BCC_1B_1$. По свойству, если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Линия пересечения с правой гранью — это отрезок $MN$.

   Следовательно, линия пересечения с левой гранью должна быть параллельна $MN$ и проходить через точку $P$, принадлежащую этой грани. Проведем через точку $P$ прямую, параллельную $MN$. Она пересечет ребро $AA_1$ в точке $Q$.

   Отрезок $PQ$ — это сторона сечения на левой грани $ADD_1A_1$.

5. Завершение построения

   Полученная точка $Q$ на ребре $AA_1$ и исходная точка $M$ на ребре $BB_1$ лежат в плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Соединим их отрезком $QM$, который является последней стороной искомого сечения.

В результате был построен замкнутый пятиугольник $MNEPQ$, который и является искомым сечением куба.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $MNEPQ$, вершины которого лежат на ребрах куба: $M \in BB_1$, $N \in CC_1$, $E \in CD$, $P \in AD$, $Q \in AA_1$.