Номер 48, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

48. Точка $M$ — середина ребра $BC$ пирамиды $SABC$. Постройте сечение пирамиды плоскостью, которая проходит через точку $M$ и параллельна плоскости $ASC$, и вычислите периметр сечения, если $SA = 24$ см, $SC = 10$ см, $AC = 26$ см.

Построение сечения

Пусть $\alpha$ — искомая плоскость сечения. По условию, точка $M \in \alpha$ и плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $(ASC)$.

1. Проведем в плоскости основания $(ABC)$ через точку $M$ прямую, параллельную прямой $AC$. Пусть эта прямая пересекает ребро $AB$ в точке $N$. Так как $AC \subset (ASC)$ и $MN || AC$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, $MN || (ASC)$.

2. Проведем в плоскости боковой грани $(SBC)$ через точку $M$ прямую, параллельную прямой $SC$. Пусть эта прямая пересекает ребро $SB$ в точке $K$. Так как $SC \subset (ASC)$ и $MK || SC$, то $MK || (ASC)$.

3. Соединим точки $N$ и $K$. Так как точки $N$ и $K$ принадлежат плоскости $\alpha$, то и отрезок $NK$ принадлежит этой плоскости.

Плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые $MN$ и $MK$, параллельна плоскости $(ASC)$, так как $MN || AC$ и $MK || SC$. Таким образом, треугольник $MNK$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $MNK$, где $N$ — точка на ребре $AB$, $K$ — точка на ребре $SB$, причем $MN || AC$ и $MK || SC$.

Вычисление периметра сечения

Периметр сечения $P_{MNK}$ равен сумме длин его сторон: $P_{MNK} = MN + NK + MK$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, $M$ — середина ребра $BC$. По построению, $MN || AC$. По теореме Фалеса (или свойству средней линии), если прямая проходит через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, то она пересекает третью сторону в ее середине. Следовательно, $N$ — середина $AB$, а $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. Длина средней линии равна половине длины параллельной ей стороны: $MN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 26 = 13$ см.

2. Рассмотрим треугольник $SBC$. $M$ — середина $BC$. По построению, $MK || SC$. Аналогично, $K$ — середина $SB$, а $MK$ — средняя линия треугольника $SBC$. $MK = \frac{1}{2} SC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

3. Рассмотрим треугольник $SAB$. Мы выяснили, что $N$ — середина $AB$ и $K$ — середина $SB$. Следовательно, $NK$ — средняя линия треугольника $SAB$. $NK = \frac{1}{2} SA = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.

4. Теперь найдем периметр сечения: $P_{MNK} = MN + MK + NK = 13 + 5 + 12 = 30$ см.

Ответ: 30 см.