Номер 49, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

49. На ребре $AD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $K$ так, что $AK : KD = 3 : 4$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку $K$ и параллельной плоскости $A_1B_1C$. Найдите периметр построенного сечения, если $AD = 21$ см, $AA_1 = 28$ см, $AB = 10$ см.

Построение сечения

Пусть $\alpha$ – искомая секущая плоскость, а $\beta$ – плоскость $(A_1B_1C)$. По условию задачи, плоскость $\alpha$ проходит через точку $K$ и параллельна плоскости $\beta$. Построение сечения основано на свойстве параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

1. Рассмотрим плоскость нижнего основания $ABCD$. Плоскость $\beta=(A_1B_1C)$ содержит отрезок $A_1B_1$, который параллелен плоскости $ABCD$. Также плоскость $\beta$ содержит точку $C$, лежащую в плоскости $ABCD$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью $ABCD$ – это прямая, проходящая через точку $C$ параллельно $A_1B_1$. В прямоугольном параллелепипеде $A_1B_1 \parallel AB \parallel CD$, значит, эта линия пересечения совпадает с прямой $CD$. Так как $\alpha \parallel \beta$, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $ABCD$ должна быть параллельна прямой $CD$. Проведем через точку $K \in AD$ прямую, параллельную $CD$. Эта прямая пересечет ребро $BC$ в точке $L$. Отрезок $KL$ – одна из сторон искомого сечения.
2. Рассмотрим плоскость боковой грани $AA_1D_1D$. Прямая $B_1C$, принадлежащая плоскости $\beta$, параллельна плоскости грани $AA_1D_1D$ (так как $BC \perp (ABB_1)$, $AD \perp (ABB_1)$, то $(BCC_1) \parallel (ADD_1)$). Линия пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью $AA_1D_1D$ проходит через точку $A_1$ (принадлежащую обеим плоскостям) и параллельна прямой $B_1C$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $AA_1D_1D$ должна быть параллельна прямой $B_1C$. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную $B_1C$. Эта прямая пересечет ребро $AA_1$ в точке $P$. Отрезок $KP$ – вторая сторона сечения.
3. Рассмотрим плоскость боковой грани $AA_1B_1B$. Линия пересечения плоскости $\beta$ с этой плоскостью – это отрезок $A_1B_1$. Значит, секущая плоскость $\alpha$ пересекает грань $AA_1B_1B$ по прямой, параллельной $A_1B_1$. Проведем через точку $P$ на ребре $AA_1$ прямую, параллельную $A_1B_1$. Она пересечет ребро $BB_1$ в точке $Q$. Отрезок $PQ$ – третья сторона сечения.
4. Соединив точки $L$ и $Q$, получим четвертую сторону сечения $LQ$. В результате построено сечение – четырехугольник $PKLQ$. Из построения следует, что $PQ \parallel A_1B_1$ и $KL \parallel CD$. Так как $A_1B_1 \parallel CD$, то $PQ \parallel KL$. Также по построению $KP \parallel B_1C$. Можно доказать, что и $LQ \parallel B_1C$, следовательно, $KP \parallel LQ$. Таким образом, сечение $PKLQ$ является параллелограммом.

Нахождение периметра построенного сечения

Для нахождения длин сторон сечения введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ – вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ – вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины параллелепипеда имеют следующие координаты, исходя из заданных длин ребер $AB = 10$ см, $AD = 21$ см, $AA_1 = 28$ см:$A(0, 0, 0)$, $B(10, 0, 0)$, $D(0, 21, 0)$, $C(10, 21, 0)$, $A_1(0, 0, 28)$, $B_1(10, 0, 28)$.

Точка $K$ лежит на ребре $AD$ и делит его в отношении $AK : KD = 3 : 4$. Длина $AD = 21$ см.Найдем длину отрезка $AK$:$AK = \frac{3}{3+4} \cdot AD = \frac{3}{7} \cdot 21 = 9$ см.Поскольку точка $K$ лежит на оси $Oy$, ее координаты $K(0, 9, 0)$.

Найдем координаты остальных вершин сечения.

• Точка $L$ лежит на ребре $BC$. Так как $KL \parallel AB$, то $y$-координата точки $L$ такая же, как у $K$, а $x$-координата такая же, как у $B$ и $C$. Таким образом, $L(10, 9, 0)$.
• Точка $P$ лежит на ребре $AA_1$. По построению $KP \parallel B_1C$. Найдем векторы $\vec{KP}$ и $\vec{B_1C}$. Координаты точки $P$ на оси $Oz$ равны $(0, 0, z_P)$. $\vec{KP} = (0-0, 0-9, z_P-0) = (0, -9, z_P)$. $\vec{B_1C} = (10-10, 21-0, 0-28) = (0, 21, -28)$. Условие параллельности векторов $\vec{KP}$ и $\vec{B_1C}$ означает пропорциональность их координат: $\frac{-9}{21} = \frac{z_P}{-28}$ Отсюда находим $z_P$: $z_P = \frac{-9 \cdot (-28)}{21} = \frac{9 \cdot 28}{21} = \frac{9 \cdot 4}{3} = 3 \cdot 4 = 12$. Таким образом, координаты точки $P(0, 0, 12)$.

Теперь найдем длины смежных сторон параллелограмма $PKLQ$.Длина стороны $KL$:$KL = \sqrt{(10-0)^2 + (9-9)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{10^2} = 10$ см.Длина стороны $PK$:$PK = \sqrt{(0-0)^2 + (9-0)^2 + (0-12)^2} = \sqrt{9^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ см.

Периметр параллелограмма $PKLQ$ равен удвоенной сумме длин его смежных сторон:$P_{PKLQ} = 2 \cdot (KL + PK) = 2 \cdot (10 + 15) = 2 \cdot 25 = 50$ см.

Ответ: 50 см.