Номер 46, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Из точки $D$, не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $E_1$ и $F_1$, а другой — в точках $E_2$ и $F_2$ соответственно, точка $E_2$ лежит между точками $D$ и $F_2$. Найдите отрезок $DF_2$, если $F_1F_2 = 12$ см, $DE_2 = 2$ см, $E_1E_2 = E_2F_2$.

Два луча, исходящие из точки $D$, образуют плоскость. Назовем ее $\gamma$. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), то их линии пересечения с плоскостью $\gamma$ также будут параллельны. Линия пересечения плоскости $\gamma$ и плоскости $\alpha$ проходит через точки $E_1$ и $E_2$. Линия пересечения плоскости $\gamma$ и плоскости $\beta$ проходит через точки $F_1$ и $F_2$. Таким образом, прямые $E_1E_2$ и $F_1F_2$ параллельны ($E_1E_2 \parallel F_1F_2$).

Рассмотрим треугольники $\triangle DE_1E_2$ и $\triangle DF_1F_2$, которые лежат в плоскости $\gamma$.

В этих треугольниках:

• $\angle D$ — общий.
• $\angle DE_2E_1 = \angle DF_2F_1$ как соответственные углы при параллельных прямых $E_1E_2$ и $F_1F_2$ и секущей $DF_2$.

Следовательно, треугольник $\triangle DE_1E_2$ подобен треугольнику $\triangle DF_1F_2$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$$ \frac{DE_2}{DF_2} = \frac{E_1E_2}{F_1F_2} $$

По условию задачи нам известны следующие значения:

• $F_1F_2 = 12$ см
• $DE_2 = 2$ см
• $E_1E_2 = E_2F_2$

Отрезок $DF_2$ состоит из двух отрезков: $DF_2 = DE_2 + E_2F_2$. Подставив известное значение $DE_2 = 2$ см, получим:

$DF_2 = 2 + E_2F_2$

Отсюда можно выразить $E_2F_2$ через $DF_2$:

$E_2F_2 = DF_2 - 2$

Так как по условию $E_1E_2 = E_2F_2$, то $E_1E_2 = DF_2 - 2$.

Теперь подставим все известные значения и выражения в нашу пропорцию:

$$ \frac{2}{DF_2} = \frac{DF_2 - 2}{12} $$

Решим полученное уравнение. Обозначим искомую длину $DF_2$ за $x$:

$$ \frac{2}{x} = \frac{x - 2}{12} $$

Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$2 \cdot 12 = x \cdot (x - 2)$

$24 = x^2 - 2x$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 24 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 2$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -24$. Подбором находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -4$.

Поскольку $x$ представляет собой длину отрезка, она не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x = -4$ не удовлетворяет условию задачи. Единственным решением является $x = 6$.

Таким образом, длина отрезка $DF_2$ равна 6 см.

Ответ: 6 см.