Страница 40 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45. Плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны. Через точку $ M $, находящуюся между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ в точках $ C_1 $ и $ D_1 $, а другая — в точках $ C_2 $ и $ D_2 $ соответственно. Найдите угол $ MD_1D_2 $, если $ \angle C_1MC_2 = 56^\circ $, $ \angle C_1C_2M = 43^\circ $.

Две пересекающиеся в точке $M$ прямые $C_1D_1$ и $C_2D_2$ задают единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\gamma$. Все точки, упомянутые в задаче ($C_1, C_2, D_1, D_2, M$), лежат в этой плоскости.

Плоскость $\gamma$ пересекает данную по условию плоскость $\alpha$ по прямой, которая проходит через точки $C_1$ и $C_2$, то есть по прямой $C_1C_2$. Аналогично, плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\beta$ по прямой $D_1D_2$.

По свойству параллельных плоскостей, если третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Поскольку по условию плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), то прямые $C_1C_2$ и $D_1D_2$ также параллельны ($C_1C_2 \parallel D_1D_2$).

Теперь рассмотрим треугольники $\Delta C_1MC_2$ и $\Delta D_1MD_2$, которые лежат в плоскости $\gamma$. В этих треугольниках:

• Углы $\angle C_1MC_2$ и $\angle D_1MD_2$ равны как вертикальные.
• Углы $\angle MC_1C_2$ и $\angle MD_1D_2$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $C_1C_2$ и $D_1D_2$ и секущей $C_1D_1$.
• Углы $\angle C_1C_2M$ и $\angle D_1D_2M$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $C_1C_2$ и $D_1D_2$ и секущей $C_2D_2$.

Следовательно, треугольники $\Delta C_1MC_2$ и $\Delta D_1MD_2$ подобны по трем углам. Из подобия следует равенство соответствующих углов. Нам нужно найти угол $\angle MD_1D_2$. Из доказанного выше, он равен углу $\angle MC_1C_2$.

Найдем величину угла $\angle MC_1C_2$ из треугольника $\Delta C_1MC_2$, используя теорему о сумме углов треугольника, которая составляет $180^\circ$: $\angle MC_1C_2 + \angle C_1MC_2 + \angle C_1C_2M = 180^\circ$

Подставим известные из условия значения углов $\angle C_1MC_2 = 56^\circ$ и $\angle C_1C_2M = 43^\circ$: $\angle MC_1C_2 + 56^\circ + 43^\circ = 180^\circ$ $\angle MC_1C_2 + 99^\circ = 180^\circ$ $\angle MC_1C_2 = 180^\circ - 99^\circ$ $\angle MC_1C_2 = 81^\circ$

Так как $\angle MD_1D_2 = \angle MC_1C_2$, то искомый угол $\angle MD_1D_2$ равен $81^\circ$.

Ответ: $81^\circ$.

46. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Из точки $D$, не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $E_1$ и $F_1$, а другой — в точках $E_2$ и $F_2$ соответственно, точка $E_2$ лежит между точками $D$ и $F_2$. Найдите отрезок $DF_2$, если $F_1F_2 = 12$ см, $DE_2 = 2$ см, $E_1E_2 = E_2F_2$.

Два луча, исходящие из точки $D$, образуют плоскость. Назовем ее $\gamma$. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), то их линии пересечения с плоскостью $\gamma$ также будут параллельны. Линия пересечения плоскости $\gamma$ и плоскости $\alpha$ проходит через точки $E_1$ и $E_2$. Линия пересечения плоскости $\gamma$ и плоскости $\beta$ проходит через точки $F_1$ и $F_2$. Таким образом, прямые $E_1E_2$ и $F_1F_2$ параллельны ($E_1E_2 \parallel F_1F_2$).

Рассмотрим треугольники $\triangle DE_1E_2$ и $\triangle DF_1F_2$, которые лежат в плоскости $\gamma$.

В этих треугольниках:

• $\angle D$ — общий.
• $\angle DE_2E_1 = \angle DF_2F_1$ как соответственные углы при параллельных прямых $E_1E_2$ и $F_1F_2$ и секущей $DF_2$.

Следовательно, треугольник $\triangle DE_1E_2$ подобен треугольнику $\triangle DF_1F_2$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$$ \frac{DE_2}{DF_2} = \frac{E_1E_2}{F_1F_2} $$

По условию задачи нам известны следующие значения:

• $F_1F_2 = 12$ см
• $DE_2 = 2$ см
• $E_1E_2 = E_2F_2$

Отрезок $DF_2$ состоит из двух отрезков: $DF_2 = DE_2 + E_2F_2$. Подставив известное значение $DE_2 = 2$ см, получим:

$DF_2 = 2 + E_2F_2$

Отсюда можно выразить $E_2F_2$ через $DF_2$:

$E_2F_2 = DF_2 - 2$

Так как по условию $E_1E_2 = E_2F_2$, то $E_1E_2 = DF_2 - 2$.

Теперь подставим все известные значения и выражения в нашу пропорцию:

$$ \frac{2}{DF_2} = \frac{DF_2 - 2}{12} $$

Решим полученное уравнение. Обозначим искомую длину $DF_2$ за $x$:

$$ \frac{2}{x} = \frac{x - 2}{12} $$

Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$2 \cdot 12 = x \cdot (x - 2)$

$24 = x^2 - 2x$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 24 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 2$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -24$. Подбором находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -4$.

Поскольку $x$ представляет собой длину отрезка, она не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x = -4$ не удовлетворяет условию задачи. Единственным решением является $x = 6$.

Таким образом, длина отрезка $DF_2$ равна 6 см.

Ответ: 6 см.

47. Постройте сечение призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ плоскостью, проходящей через точку $D$, принадлежащую ребру $A_1 C_1$, и прямую $AB$.

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через прямую $AB$ и точку $D$, принадлежащую ребру $A_1C_1$, выполним следующие шаги. Обозначим секущую плоскость как $\alpha$.

1. Так как секущая плоскость $\alpha$ проходит через прямую $AB$, а $AB$ является ребром призмы, то отрезок $AB$ является одной из сторон искомого сечения.
2. Основания призмы лежат в параллельных плоскостях: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$. По свойству, если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Секущая плоскость $\alpha$ пересекает плоскость нижнего основания $(ABC)$ по прямой $AB$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ будет прямой, параллельной $AB$.
3. Точка $D$ принадлежит ребру $A_1C_1$ и, по условию, лежит в секущей плоскости $\alpha$. Это означает, что линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ проходит через точку $D$.
4. Исходя из пунктов 2 и 3, проведем в плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ через точку $D$ прямую $l$, параллельную прямой $AB$ ($l \parallel AB$). Эта прямая $l$ пересечет ребро $B_1C_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $E$. Отрезок $DE$ является второй стороной искомого сечения.
5. Таким образом, мы получили четыре вершины сечения: $A, B, E, D$. Соединим их последовательно, чтобы получить замкнутый многоугольник:
   • $AB$ — сторона сечения на грани $ABB_1A_1$.
   • $AD$ — сторона сечения. Точки $A$ и $D$ лежат в плоскости боковой грани $ACC_1A_1$, следовательно, отрезок $AD$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с этой гранью.
   • $BE$ — сторона сечения. Точки $B$ и $E$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$, следовательно, отрезок $BE$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с этой гранью.
   • $DE$ — сторона сечения на грани верхнего основания $A_1B_1C_1$.
6. Искомым сечением является четырехугольник $ABED$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $ABED$, где точка $E$ является точкой пересечения ребра $B_1C_1$ с прямой, проведенной в плоскости $(A_1B_1C_1)$ через точку $D$ параллельно прямой $AB$.

48. Точка $M$ — середина ребра $BC$ пирамиды $SABC$. Постройте сечение пирамиды плоскостью, которая проходит через точку $M$ и параллельна плоскости $ASC$, и вычислите периметр сечения, если $SA = 24$ см, $SC = 10$ см, $AC = 26$ см.

Построение сечения

Пусть $\alpha$ — искомая плоскость сечения. По условию, точка $M \in \alpha$ и плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $(ASC)$.

1. Проведем в плоскости основания $(ABC)$ через точку $M$ прямую, параллельную прямой $AC$. Пусть эта прямая пересекает ребро $AB$ в точке $N$. Так как $AC \subset (ASC)$ и $MN || AC$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, $MN || (ASC)$.

2. Проведем в плоскости боковой грани $(SBC)$ через точку $M$ прямую, параллельную прямой $SC$. Пусть эта прямая пересекает ребро $SB$ в точке $K$. Так как $SC \subset (ASC)$ и $MK || SC$, то $MK || (ASC)$.

3. Соединим точки $N$ и $K$. Так как точки $N$ и $K$ принадлежат плоскости $\alpha$, то и отрезок $NK$ принадлежит этой плоскости.

Плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые $MN$ и $MK$, параллельна плоскости $(ASC)$, так как $MN || AC$ и $MK || SC$. Таким образом, треугольник $MNK$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $MNK$, где $N$ — точка на ребре $AB$, $K$ — точка на ребре $SB$, причем $MN || AC$ и $MK || SC$.

Вычисление периметра сечения

Периметр сечения $P_{MNK}$ равен сумме длин его сторон: $P_{MNK} = MN + NK + MK$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, $M$ — середина ребра $BC$. По построению, $MN || AC$. По теореме Фалеса (или свойству средней линии), если прямая проходит через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, то она пересекает третью сторону в ее середине. Следовательно, $N$ — середина $AB$, а $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. Длина средней линии равна половине длины параллельной ей стороны: $MN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 26 = 13$ см.

2. Рассмотрим треугольник $SBC$. $M$ — середина $BC$. По построению, $MK || SC$. Аналогично, $K$ — середина $SB$, а $MK$ — средняя линия треугольника $SBC$. $MK = \frac{1}{2} SC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

3. Рассмотрим треугольник $SAB$. Мы выяснили, что $N$ — середина $AB$ и $K$ — середина $SB$. Следовательно, $NK$ — средняя линия треугольника $SAB$. $NK = \frac{1}{2} SA = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.

4. Теперь найдем периметр сечения: $P_{MNK} = MN + MK + NK = 13 + 5 + 12 = 30$ см.

Ответ: 30 см.

49. На ребре $AD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $K$ так, что $AK : KD = 3 : 4$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку $K$ и параллельной плоскости $A_1B_1C$. Найдите периметр построенного сечения, если $AD = 21$ см, $AA_1 = 28$ см, $AB = 10$ см.

Построение сечения

Пусть $\alpha$ – искомая секущая плоскость, а $\beta$ – плоскость $(A_1B_1C)$. По условию задачи, плоскость $\alpha$ проходит через точку $K$ и параллельна плоскости $\beta$. Построение сечения основано на свойстве параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

1. Рассмотрим плоскость нижнего основания $ABCD$. Плоскость $\beta=(A_1B_1C)$ содержит отрезок $A_1B_1$, который параллелен плоскости $ABCD$. Также плоскость $\beta$ содержит точку $C$, лежащую в плоскости $ABCD$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью $ABCD$ – это прямая, проходящая через точку $C$ параллельно $A_1B_1$. В прямоугольном параллелепипеде $A_1B_1 \parallel AB \parallel CD$, значит, эта линия пересечения совпадает с прямой $CD$. Так как $\alpha \parallel \beta$, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $ABCD$ должна быть параллельна прямой $CD$. Проведем через точку $K \in AD$ прямую, параллельную $CD$. Эта прямая пересечет ребро $BC$ в точке $L$. Отрезок $KL$ – одна из сторон искомого сечения.
2. Рассмотрим плоскость боковой грани $AA_1D_1D$. Прямая $B_1C$, принадлежащая плоскости $\beta$, параллельна плоскости грани $AA_1D_1D$ (так как $BC \perp (ABB_1)$, $AD \perp (ABB_1)$, то $(BCC_1) \parallel (ADD_1)$). Линия пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью $AA_1D_1D$ проходит через точку $A_1$ (принадлежащую обеим плоскостям) и параллельна прямой $B_1C$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $AA_1D_1D$ должна быть параллельна прямой $B_1C$. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную $B_1C$. Эта прямая пересечет ребро $AA_1$ в точке $P$. Отрезок $KP$ – вторая сторона сечения.
3. Рассмотрим плоскость боковой грани $AA_1B_1B$. Линия пересечения плоскости $\beta$ с этой плоскостью – это отрезок $A_1B_1$. Значит, секущая плоскость $\alpha$ пересекает грань $AA_1B_1B$ по прямой, параллельной $A_1B_1$. Проведем через точку $P$ на ребре $AA_1$ прямую, параллельную $A_1B_1$. Она пересечет ребро $BB_1$ в точке $Q$. Отрезок $PQ$ – третья сторона сечения.
4. Соединив точки $L$ и $Q$, получим четвертую сторону сечения $LQ$. В результате построено сечение – четырехугольник $PKLQ$. Из построения следует, что $PQ \parallel A_1B_1$ и $KL \parallel CD$. Так как $A_1B_1 \parallel CD$, то $PQ \parallel KL$. Также по построению $KP \parallel B_1C$. Можно доказать, что и $LQ \parallel B_1C$, следовательно, $KP \parallel LQ$. Таким образом, сечение $PKLQ$ является параллелограммом.

Нахождение периметра построенного сечения

Для нахождения длин сторон сечения введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ – вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ – вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины параллелепипеда имеют следующие координаты, исходя из заданных длин ребер $AB = 10$ см, $AD = 21$ см, $AA_1 = 28$ см:$A(0, 0, 0)$, $B(10, 0, 0)$, $D(0, 21, 0)$, $C(10, 21, 0)$, $A_1(0, 0, 28)$, $B_1(10, 0, 28)$.

Точка $K$ лежит на ребре $AD$ и делит его в отношении $AK : KD = 3 : 4$. Длина $AD = 21$ см.Найдем длину отрезка $AK$:$AK = \frac{3}{3+4} \cdot AD = \frac{3}{7} \cdot 21 = 9$ см.Поскольку точка $K$ лежит на оси $Oy$, ее координаты $K(0, 9, 0)$.

Найдем координаты остальных вершин сечения.

• Точка $L$ лежит на ребре $BC$. Так как $KL \parallel AB$, то $y$-координата точки $L$ такая же, как у $K$, а $x$-координата такая же, как у $B$ и $C$. Таким образом, $L(10, 9, 0)$.
• Точка $P$ лежит на ребре $AA_1$. По построению $KP \parallel B_1C$. Найдем векторы $\vec{KP}$ и $\vec{B_1C}$. Координаты точки $P$ на оси $Oz$ равны $(0, 0, z_P)$. $\vec{KP} = (0-0, 0-9, z_P-0) = (0, -9, z_P)$. $\vec{B_1C} = (10-10, 21-0, 0-28) = (0, 21, -28)$. Условие параллельности векторов $\vec{KP}$ и $\vec{B_1C}$ означает пропорциональность их координат: $\frac{-9}{21} = \frac{z_P}{-28}$ Отсюда находим $z_P$: $z_P = \frac{-9 \cdot (-28)}{21} = \frac{9 \cdot 28}{21} = \frac{9 \cdot 4}{3} = 3 \cdot 4 = 12$. Таким образом, координаты точки $P(0, 0, 12)$.

Теперь найдем длины смежных сторон параллелограмма $PKLQ$.Длина стороны $KL$:$KL = \sqrt{(10-0)^2 + (9-9)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{10^2} = 10$ см.Длина стороны $PK$:$PK = \sqrt{(0-0)^2 + (9-0)^2 + (0-12)^2} = \sqrt{9^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ см.

Периметр параллелограмма $PKLQ$ равен удвоенной сумме длин его смежных сторон:$P_{PKLQ} = 2 \cdot (KL + PK) = 2 \cdot (10 + 15) = 2 \cdot 25 = 50$ см.

Ответ: 50 см.

50. На рёбрах $BB_1$, $CC_1$ и $CD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $M$, $N$ и $E$ (рис. 45). Постройте сечение куба плоскостью $MNE$.

Рис. 45

Рис. 45

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $MNE$ необходимо последовательно найти линии пересечения этой плоскости с гранями куба. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Построение отрезков сечения в гранях, содержащих данные точки

   Точки $N$ и $E$ лежат в плоскости задней грани $DCC_1D_1$. Соединим их, получив отрезок $NE$, который является стороной искомого сечения.

   Аналогично, точки $M$ и $N$ лежат в плоскости правой грани $BCC_1B_1$. Соединив их, получим отрезок $MN$ — еще одну сторону сечения.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости нижнего основания

   Чтобы найти линию пересечения (след) секущей плоскости $MNE$ с плоскостью нижнего основания $ABCD$, найдем вторую, помимо $E$, общую точку этих плоскостей.

   Для этого продлим прямую $MN$, лежащую в секущей плоскости, до пересечения с плоскостью $ABCD$. Прямая $MN$ лежит в плоскости $BCC_1B_1$, которая пересекается с плоскостью $ABCD$ по прямой $BC$. Прямые $MN$ и $BC$ лежат в одной плоскости ($BCC_1B_1$) и не параллельны, следовательно, они пересекаются. Обозначим точку их пересечения $K$.

   $K = MN \cap BC$

   Точка $K$ принадлежит секущей плоскости $MNE$ и плоскости основания $ABCD$. Точка $E$ также принадлежит обеим плоскостям. Таким образом, прямая $EK$ является следом секущей плоскости на плоскости основания $ABCD$.

3. Нахождение стороны сечения на нижней грани

   След $EK$ пересекает ребра куба, лежащие в плоскости основания. Точка $E$ уже лежит на ребре $CD$. Найдем точку пересечения прямой $EK$ с ребром $AD$. Обозначим эту точку $P$.

   $P = EK \cap AD$

   Отрезок $PE$ является стороной сечения, лежащей на нижней грани $ABCD$.

4. Построение стороны сечения на левой грани

   Левая грань $ADD_1A_1$ параллельна правой грани $BCC_1B_1$. По свойству, если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Линия пересечения с правой гранью — это отрезок $MN$.

   Следовательно, линия пересечения с левой гранью должна быть параллельна $MN$ и проходить через точку $P$, принадлежащую этой грани. Проведем через точку $P$ прямую, параллельную $MN$. Она пересечет ребро $AA_1$ в точке $Q$.

   Отрезок $PQ$ — это сторона сечения на левой грани $ADD_1A_1$.

5. Завершение построения

   Полученная точка $Q$ на ребре $AA_1$ и исходная точка $M$ на ребре $BB_1$ лежат в плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Соединим их отрезком $QM$, который является последней стороной искомого сечения.

В результате был построен замкнутый пятиугольник $MNEPQ$, который и является искомым сечением куба.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $MNEPQ$, вершины которого лежат на ребрах куба: $M \in BB_1$, $N \in CC_1$, $E \in CD$, $P \in AD$, $Q \in AA_1$.

51. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCD_1B_1C_1D_1$ плоскостью, которая проходит через точки $M, P$ и $K$, принадлежащие соответственно рёбрам $C_1D_1$, $BC$ и $DD_1$.

Для построения сечения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $M$, $P$ и $K$, принадлежащие соответственно рёбрам $C_1D_1$, $BC$ и $DD_1$, выполним последовательность построений.

1. Построение стороны сечения в задней грани.

   Точки $M$ и $K$ лежат в плоскости задней грани $(CDD_1C_1)$. Соединим их, получив отрезок $MK$. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с гранью $CDD_1C_1$ и, следовательно, одной из сторон искомого сечения.

2. Построение стороны сечения в правой грани.

   Продлим прямую $MK$ в плоскости задней грани до пересечения с прямой $CC_1$ в точке $X$. Так как точка $X$ лежит на прямой $MK$, она принадлежит секущей плоскости. Так как $X$ лежит на прямой $CC_1$, она принадлежит плоскости правой грани $(BCC_1B_1)$.

   Теперь в плоскости правой грани $(BCC_1B_1)$ лежат две точки секущей плоскости: данная точка $P$ и построенная точка $X$. Проведём через них прямую $PX$. Эта прямая пересечёт ребро $BB_1$ в точке $N$. Отрезок $PN$ — вторая сторона сечения.

3. Построение стороны сечения в левой грани.

   Левая грань $(ADD_1A_1)$ параллельна правой грани $(BCC_1B_1)$. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения с левой гранью параллельна линии пересечения с правой гранью, т.е. прямой $PN$. Проведём через точку $K$ (лежащую в левой грани) прямую, параллельную $PN$. Эта прямая пересечёт ребро $AD$ в точке $Q$. Отрезок $KQ$ — третья сторона сечения.

4. Построение стороны сечения в нижней грани.

   Точки $P$ и $Q$ лежат в плоскости нижнего основания $(ABCD)$. Соединим их отрезком $QP$, который будет четвёртой стороной сечения.

5. Построение стороны сечения в верхней грани.

   Верхняя грань $(A_1B_1C_1D_1)$ параллельна нижней грани $(ABCD)$. Следовательно, линия пересечения с верхней гранью параллельна прямой $QP$. Проведём через точку $M$ (лежащую в верхней грани) прямую, параллельную $QP$. Эта прямая пересечёт ребро $A_1B_1$ в точке $R$. Отрезок $MR$ — пятая сторона сечения.

6. Завершение построения.

   Построенные точки $N$ (на ребре $BB_1$) и $R$ (на ребре $A_1B_1$) лежат в плоскости передней грани $(ABB_1A_1)$. Соединим их, получив отрезок $NR$. Это шестая и последняя сторона сечения. Заметим, что по свойству параллельных граней, $NR$ будет параллельна $MK$, так как передняя грань параллельна задней. Построение замкнуто.

Ответ:

Искомое сечение — шестиугольник $MKQPNR$, вершины которого последовательно лежат на рёбрах $C_1D_1$, $DD_1$, $AD$, $BC$, $BB_1$ и $A_1B_1$ параллелепипеда.