Страница 41 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Преобразование фигур в пространстве.

Параллельное проектирование

52. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 46). При некотором параллельном переносе образом точки $C_1$ является точка $B_1$. Какая фигура при данном параллельном переносе является образом:

1) точки $D$;

2) отрезка $CC_1$;

3) отрезка $CD_1$?

Рис. 46

Параллельный перенос — это преобразование, при котором все точки пространства смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это смещение задается вектором, который называется вектором переноса.

По условию задачи, при данном параллельном переносе образом точки $C_1$ является точка $B_1$. Это означает, что вектор переноса $\vec{v}$ равен вектору $\vec{C_1B_1}$.

Для нахождения образа любой фигуры нужно найти образы ее определяющих точек, сместив их на вектор $\vec{v} = \vec{C_1B_1}$.

Чтобы найти образ точки $D$, нужно отложить от нее вектор, равный вектору переноса $\vec{C_1B_1}$. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ противоположные грани являются равными квадратами, а боковые ребра параллельны и равны. Поэтому вектор $\vec{C_1B_1}$ равен вектору $\vec{DA}$ (они сонаправлены и их длины равны ребру куба). Таким образом, смещение точки $D$ на вектор $\vec{DA}$ приводит ее в точку $A$.

$\vec{DD'} = \vec{C_1B_1} = \vec{DA}$

Следовательно, точка $D'$ совпадает с точкой $A$.

Ответ: точка $A$.

При параллельном переносе образом отрезка является отрезок, равный и параллельный исходному. Чтобы найти образ отрезка $CC_1$, найдем образы его концов — точек $C$ и $C_1$.

1. Образ точки $C_1$ дан по условию — это точка $B_1$.

2. Найдем образ точки $C$. Для этого сместим ее на вектор переноса $\vec{C_1B_1}$. В кубе вектор $\vec{C_1B_1}$ равен вектору $\vec{CB}$. Значит, точка $C$ переходит в точку $B$.

Таким образом, концы отрезка $CC_1$ переходят в точки $B$ и $B_1$. Следовательно, образом отрезка $CC_1$ является отрезок $BB_1$.

Ответ: отрезок $BB_1$.

Чтобы найти образ отрезка $CD_1$, найдем образы его концов — точек $C$ и $D_1$.

1. Как было найдено в предыдущем пункте, образ точки $C$ — это точка $B$.

2. Найдем образ точки $D_1$. Для этого сместим ее на вектор переноса $\vec{C_1B_1}$. В кубе вектор $\vec{C_1B_1}$ равен вектору $\vec{D_1A_1}$. Значит, точка $D_1$ переходит в точку $A_1$.

Таким образом, концы отрезка $CD_1$ переходят в точки $B$ и $A_1$. Следовательно, образом отрезка $CD_1$ является отрезок $BA_1$.

Ответ: отрезок $A_1B$.

53. На рисунке 47 изображён тетраэдр $DABC$, точка $M$ – середина ребра $CD$. Постройте образ данного тетраэдра при параллельном переносе, в результате которого:

1) образом точки $A$ является точка $B$;

2) образом точки $A$ является точка $M$.

Рис. 47

Параллельный перенос — это преобразование пространства, при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это преобразование задается вектором. Чтобы построить образ фигуры, нужно построить образы всех ее вершин.

1) образом точки А является точка В

В этом случае параллельный перенос задается вектором $\vec{v} = \vec{AB}$. Это означает, что каждая точка исходного тетраэдра смещается на вектор $\vec{AB}$. Найдем образы вершин тетраэдра $DABC$:

• Образом точки $A$ по условию является точка $B$. Обозначим ее $A'$. Таким образом, $A' = B$.
• Образом точки $B$ будет точка $B'$, такая что $\vec{BB'} = \vec{AB}$. Чтобы построить точку $B'$, нужно отложить от точки $B$ вектор, равный вектору $\vec{AB}$.
• Образом точки $C$ будет точка $C'$, такая что $\vec{CC'} = \vec{AB}$. Для построения точки $C'$ нужно построить параллелограмм $ABC'C$, проведя через точку $C$ прямую, параллельную $AB$, а через точку $B$ — прямую, параллельную $AC$.
• Образом точки $D$ будет точка $D'$, такая что $\vec{DD'} = \vec{AB}$. Для построения точки $D'$ нужно построить параллелограмм $ABD'D$, проведя через точку $D$ прямую, параллельную $AB$, а через точку $B$ — прямую, параллельную $AD$.

Соединив полученные точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$, мы получим тетраэдр $A'B'C'D'$, который является образом тетраэдра $DABC$. Так как $A'=B$, то искомый тетраэдр — это $D'BB'C'$.

Ответ: Образом тетраэдра $DABC$ является тетраэдр $D'BB'C'$, где точки $B'$, $C'$, $D'$ строятся так, что $\vec{BB'} = \vec{AB}$, $\vec{CC'} = \vec{AB}$ и $\vec{DD'} = \vec{AB}$.

2) образом точки А является точка М

В этом случае параллельный перенос задается вектором $\vec{u} = \vec{AM}$, где $M$ — середина ребра $CD$. Каждая точка исходного тетраэдра смещается на вектор $\vec{AM}$. Найдем образы вершин тетраэдра $DABC$:

• Образом точки $A$ по условию является точка $M$. Обозначим ее $A''$. Таким образом, $A'' = M$.
• Образом точки $B$ будет точка $B''$, такая что $\vec{BB''} = \vec{AM}$. Для построения точки $B''$ нужно построить параллелограмм $AMB''B$.
• Образом точки $C$ будет точка $C''$, такая что $\vec{CC''} = \vec{AM}$. Для построения точки $C''$ нужно построить параллелограмм $AMC''C$.
• Образом точки $D$ будет точка $D''$, такая что $\vec{DD''} = \vec{AM}$. Для построения точки $D''$ нужно построить параллелограмм $AMD''D$.

Соединив полученные точки $A''$, $B''$, $C''$, $D''$, мы получим тетраэдр $A''B''C''D''$, который является образом тетраэдра $DABC$. Так как $A''=M$, то искомый тетраэдр — это $D''MB''C''$.

Ответ: Образом тетраэдра $DABC$ является тетраэдр $D''MB''C''$, где точки $B''$, $C''$, $D''$ строятся так, что $\vec{BB''} = \vec{AM}$, $\vec{CC''} = \vec{AM}$ и $\vec{DD''} = \vec{AM}$.

54. На рисунке 48 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, на ребре $CC_1$ которого отметили точку $M$. Постройте образ данного куба при симметрии относительно:

1) вершины $A_1$;

2) точки $M$.

Рис. 48

Центральная симметрия относительно точки (центра симметрии) — это преобразование пространства, при котором каждая точка $P$ переходит в такую точку $P'$, что центр симметрии $O$ является серединой отрезка $PP'$. Образом любой фигуры при центральной симметрии является конгруэнтная (равная) ей фигура. Образом куба будет куб с той же длиной ребра.

Для построения образа куба достаточно построить образы всех его восьми вершин, а затем соединить их ребрами в соответствующем порядке.

В этом случае центром симметрии является вершина куба $A_1$. Для любой точки $P$ её образ $P'$ находится из условия, что $A_1$ — середина отрезка $PP'$. В векторной форме это означает, что $\vec{A_1P'} = -\vec{A_1P}$.

Построим образ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, находя образы его вершин относительно точки $A_1$. Обозначим образ вершины $X$ как $X'$.

1. Вершина $A_1$ является центром симметрии, поэтому она отображается сама на себя: $A'_1 = A_1$.
2. Найдём образы вершин, смежных с $A_1$: $A$, $B_1$, $D_1$.
- Образ вершины $A$ — это точка $A'$, такая что $A_1$ — середина отрезка $AA'$. Для её построения нужно продлить ребро $AA_1$ за точку $A_1$ на его длину. То есть $A_1A' = AA_1$.
- Образ вершины $B_1$ — это точка $B'_1$, такая что $A_1$ — середина отрезка $B_1B'_1$. Для её построения нужно продлить ребро $B_1A_1$ за точку $A_1$ на его длину. То есть $A_1B'_1 = B_1A_1$.
- Образ вершины $D_1$ — это точка $D'_1$, такая что $A_1$ — середина отрезка $D_1D'_1$. Для её построения нужно продлить ребро $D_1A_1$ за точку $A_1$ на его длину. То есть $A_1D'_1 = D_1A_1$.
3. Полученные отрезки $A_1A'$, $A_1B'_1$ и $A_1D'_1$ являются тремя ребрами нового куба, выходящими из общей вершины $A_1$.
4. Остальные вершины нового куба можно построить, используя параллельность ребер. Например, чтобы найти $C'_1$, можно воспользоваться правилом параллелограмма (векторным сложением): $\vec{A_1C'_1} = \vec{A_1B'_1} + \vec{A_1D'_1}$. Аналогично строятся и остальные вершины $B'$, $C'$, $D'$, $A'$.
5. Соединив все полученные вершины, мы получим новый куб $A'B'C'D'A'_1B'_1C'_1D'_1$, который конгруэнтен исходному и имеет с ним общую вершину $A_1$.

Ответ: Образом данного куба при симметрии относительно вершины $A_1$ является куб, равный исходному, который имеет с ним одну общую вершину $A_1$. Три ребра нового куба, выходящие из вершины $A_1$, лежат на прямых, содержащих ребра $A_1A$, $A_1B_1$, $A_1D_1$ исходного куба, и направлены в противоположные стороны от вершины $A_1$.

В этом случае центром симметрии является точка $M$, лежащая на ребре $CC_1$. Для любой точки $P$ её образ $P'$ находится из условия, что $M$ — середина отрезка $PP'$.

Построение образа куба заключается в нахождении образов всех его восьми вершин относительно точки $M$. Обозначим образ вершины $X$ как $X'$.

1. Для каждой вершины исходного куба $P \in \{A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1\}$ строим симметричную ей точку $P'$. Для этого соединяем точку $P$ с центром симметрии $M$ и на продолжении отрезка $PM$ за точку $M$ откладываем отрезок $MP'$, равный $PM$.
2. Рассмотрим построение образов вершин $C$ и $C_1$, на ребре которых лежит точка $M$:
- Образ вершины $C$ — точка $C'$, лежит на прямой $CC_1$. $M$ является серединой отрезка $CC'$.
- Образ вершины $C_1$ — точка $C'_1$, также лежит на прямой $CC_1$. $M$ является серединой отрезка $C_1C'_1$.
Отрезок $C'C'_1$ является образом ребра $CC_1$. Его длина равна длине ребра $CC_1$.
3. Аналогично строятся образы остальных шести вершин:
- $A'$ — образ $A$, $M$ — середина $AA'$.
- $B'$ — образ $B$, $M$ — середина $BB'$.
- $D'$ — образ $D$, $M$ — середина $DD'$.
- $A'_1$ — образ $A_1$, $M$ — середина $A_1A'_1$.
- $B'_1$ — образ $B_1$, $M$ — середина $B_1B'_1$.
- $D'_1$ — образ $D_1$, $M$ — середина $D_1D'_1$.
4. Последовательно соединив полученные точки $A', B', C', D', A'_1, B'_1, C'_1, D'_1$, получим искомый образ куба. Это будет куб, конгруэнтный исходному. Он будет "перевернут" относительно исходного куба и смещен в пространстве.

Ответ: Образом куба является конгруэнтный ему куб $A'B'C'D'A'_1B'_1C'_1D'_1$. Для построения необходимо для каждой вершины $P$ исходного куба найти симметричную ей точку $P'$ относительно точки $M$ (так, чтобы $M$ была серединой отрезка $PP'$). Соединив полученные восемь вершин-образов, получим искомый куб.

55. Может ли ромб быть параллельной проекцией четырёхугольника ABCD, углы которого соответственно равны $20^\circ$, $100^\circ$, $160^\circ$ и $80^\circ$?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся одним из основных свойств параллельного проецирования: параллельная проекция сохраняет параллельность прямых. Это означает, что если две прямые в пространстве параллельны, то их проекции на плоскость также будут параллельны (или сольются в одну прямую).

Ромб — это частный случай параллелограмма. Главное свойство параллелограмма заключается в том, что его противоположные стороны попарно параллельны.Пусть некий ромб A'B'C'D' является параллельной проекцией четырехугольника ABCD. Поскольку ромб A'B'C'D' является параллелограммом, его стороны удовлетворяют условиям A'B' || C'D' и B'C' || A'D'.

Так как параллельная проекция сохраняет параллельность, то и стороны исходного четырехугольника ABCD должны быть попарно параллельны, то есть AB || CD и BC || AD. Это означает, что исходный четырехугольник ABCD также должен быть параллелограммом.

Проверим, является ли заданный четырехугольник ABCD параллелограммом. Его углы равны $20°, 100°, 160°$ и $80°$.Одно из свойств параллелограмма — равенство противоположных углов. В данном четырехугольнике ABCD противоположными являются углы A и C, а также B и D. Проверим их равенство:

• $∠A = 20°$, $∠C = 160°$. Так как $20° \neq 160°$, эти углы не равны.
• $∠B = 100°$, $∠D = 80°$. Так как $100° \neq 80°$, эти углы также не равны.

Поскольку у четырехугольника ABCD противоположные углы не равны, он не является параллелограммом. Следовательно, его параллельная проекция не может быть параллелограммом, а значит, и не может быть ромбом.

Ответ: нет, не может.

56. В каком случае параллельной проекцией отрезка является:

1) точка;

2) отрезок, равный данному отрезку?

1) точка;

Параллельной проекцией отрезка является точка тогда и только тогда, когда прямая, содержащая этот отрезок, параллельна направлению проецирования.
Рассмотрим отрезок $AB$, который проецируется на плоскость $\pi$ в направлении, параллельном прямой $l$. Проекцией точки $A$ является точка $A_1$, а проекцией точки $B$ — точка $B_1$. Проекцией всего отрезка $AB$ является отрезок $A_1B_1$. Если проекцией является точка, это означает, что точки $A_1$ и $B_1$ совпадают. По определению параллельной проекции, точка $A_1$ — это точка пересечения плоскости $\pi$ с прямой, проходящей через $A$ параллельно $l$. Аналогично для $B_1$. Точки $A_1$ и $B_1$ совпадут только в том случае, если точки $A$ и $B$ лежат на одной прямой, параллельной направлению проецирования $l$.

Ответ: если прямая, содержащая отрезок, параллельна направлению проецирования.

2) отрезок, равный данному отрезку?

Параллельная проекция отрезка является отрезком, равным по длине данному отрезку, тогда и только тогда, когда данный отрезок параллелен плоскости проекции.
Пусть отрезок $AB$ проецируется на плоскость $\pi$ в отрезок $A_1B_1$. Рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. По определению параллельного проецирования, прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны (так как они обе параллельны направлению проецирования). Следовательно, $ABB_1A_1$ является трапецией или параллелограммом. Длины отрезков $|AB|$ и $|A_1B_1|$ будут равны, если этот четырехугольник является параллелограммом. Для этого необходимо, чтобы стороны $AB$ и $A_1B_1$ были параллельны. Поскольку отрезок $A_1B_1$ лежит в плоскости проекции $\pi$, то и отрезок $AB$ должен быть параллелен плоскости $\pi$.
Важно отметить, что сам отрезок не должен быть параллелен направлению проецирования, иначе его проекцией будет точка (как в пункте 1), а не отрезок равной длины.

Ответ: если отрезок параллелен плоскости проекции, но не параллелен направлению проецирования.