Страница 42 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением прямоугольного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AB$ (рис. 49). Постройте изображения серединных перпендикуляров отрезков $AC$ и $BC$.

Рис. 49

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и свойствами параллельного проецирования.

Серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника пересекаются в одной точке — центре его описанной окружности. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с гипотенузой $AB$ (и, следовательно, с прямым углом при вершине $C$) центр описанной окружности находится в середине гипотенузы $AB$.

Пусть $O$ — середина гипотенузы $AB$, $K$ — середина катета $AC$, и $N$ — середина катета $BC$. Тогда серединный перпендикуляр к отрезку $AC$ — это прямая, проходящая через точки $O$ и $K$. Аналогично, серединный перпендикуляр к отрезку $BC$ — это прямая, проходящая через точки $O$ и $N$.

При параллельном проецировании середина отрезка переходит в середину образа этого отрезка, а прямая — в прямую. Пусть $A_1B_1C_1$ — изображение треугольника $ABC$. Тогда образами точек $O, K, N$ будут соответственно точки $O_1$ — середина $A_1B_1$, $K_1$ — середина $A_1C_1$, и $N_1$ — середина $B_1C_1$.

Таким образом, образом серединного перпендикуляра к $AC$ будет прямая $O_1K_1$, а образом серединного перпендикуляра к $BC$ будет прямая $O_1N_1$. Это определяет алгоритм построения.

Построение изображения серединного перпендикуляра отрезка AC

Построение выполняется в следующем порядке: 1. Находим середину отрезка $A_1B_1$ и обозначаем ее $O_1$. 2. Находим середину отрезка $A_1C_1$ и обозначаем ее $K_1$. 3. Проводим прямую через точки $O_1$ и $K_1$. Эта прямая и есть искомое изображение.

Ответ: Изображением серединного перпендикуляра отрезка $AC$ является прямая, проходящая через середины отрезков $A_1B_1$ и $A_1C_1$.

Построение изображения серединного перпендикуляра отрезка BC

Построение выполняется в следующем порядке: 1. Находим середину отрезка $A_1B_1$ и обозначаем ее $O_1$. 2. Находим середину отрезка $B_1C_1$ и обозначаем ее $N_1$. 3. Проводим прямую через точки $O_1$ и $N_1$. Эта прямая и есть искомое изображение.

Ответ: Изображением серединного перпендикуляра отрезка $BC$ является прямая, проходящая через середины отрезков $A_1B_1$ и $B_1C_1$.

58. Параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ — изображение параллелограмма $ABCD$, в котором $AB = BD$. Постройте изображение высоты параллелограмма, опущенной из вершины $D$ на сторону $BC$.

Пусть $ABCD$ — исходный параллелограмм, а $A_1B_1C_1D_1$ — его изображение, полученное в результате параллельного проектирования.

По условию задачи, в параллелограмме $ABCD$ выполняется равенство $AB = BD$.

Из свойств параллелограмма известно, что его противолежащие стороны равны, то есть $AB = CD$.

Сопоставляя два равенства, получаем $CD = BD$. Это означает, что треугольник $BCD$ является равнобедренным с основанием $BC$.

Обозначим через $DH$ высоту параллелограмма, опущенную из вершины $D$ на сторону $BC$. По определению, $DH$ перпендикулярна $BC$ ($DH \perp BC$).

В равнобедренном треугольнике $BCD$ высота $DH$, проведенная к основанию $BC$, является также его медианой. Следовательно, точка $H$ является серединой стороны $BC$.

Одним из свойств параллельного проектирования является сохранение отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой. Это означает, что середина отрезка проектируется в середину проекции этого отрезка. Таким образом, изображение точки $H$, обозначим его $H_1$, будет являться серединой отрезка $B_1C_1$, который является изображением стороны $BC$.

Следовательно, для построения изображения высоты $DH$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти середину стороны $B_1C_1$ данного изображения параллелограмма. Обозначим эту точку $H_1$.
2. Соединить отрезком вершину $D_1$ (изображение вершины $D$) с точкой $H_1$.

Отрезок $D_1H_1$ и есть искомое изображение высоты параллелограмма, опущенной из вершины $D$ на сторону $BC$.

Ответ: Искомым изображением высоты является отрезок $D_1H_1$, где точка $H_1$ — середина стороны $B_1C_1$ параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$.

59. Треугольник $A_1B_1C_1$ — изображение прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AB$. Постройте изображение прямоугольника $MNKP$, если $N \in AC, K \in BC, M \in AB, P \in AB, AM : MP = 1 : 2$.

Для построения изображения прямоугольника `MNKP` выполним сначала анализ свойств его прообраза в исходном прямоугольном равнобедренном треугольнике `ABC`.

1. Анализ прообраза.

Пусть `ΔABC` — прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине `C` и гипотенузой `AB`. Тогда его острые углы `∠A = ∠B = 45°`.

Прямоугольник `MNKP` вписан в треугольник так, что его сторона `MP` лежит на гипотенузе `AB`, а вершины `N` и `K` — на катетах `AC` и `BC` соответственно.

Поскольку `MNKP` — прямоугольник, его стороны `MN` и `PK` перпендикулярны стороне `MP`, а значит, и гипотенузе `AB`. Таким образом, `MN ⊥ AB` и `PK ⊥ AB`.

Рассмотрим треугольник `ΔAMN`. Он прямоугольный, так как `∠NMA = 90°`. Один из его углов `∠A = 45°`, следовательно, `ΔAMN` также является равнобедренным, и `AM = MN`.

Аналогично, в `ΔPKB`: `∠PKB = 90°` и `∠B = 45°`, значит `ΔPKB` — равнобедренный, и `PK = PB`.

Так как `MNKP` — прямоугольник, то `MN = PK`. Из полученных выше равенств следует, что `AM = PB`.

По условию задачи дано отношение `AM : MP = 1 : 2`. Пусть `AM = x`, тогда `MP = 2x`. Поскольку `AM = PB`, то `PB = x`.

Таким образом, точки `M` и `P` делят гипотенузу `AB` в отношении `AM : MP : PB = x : 2x : x = 1 : 2 : 1`. Это означает, что точки `M` и `P` вместе с точками `A` и `B` делят гипотенузу `AB` на 4 равные части.

Пусть `H` — середина гипотенузы `AB`. В равнобедренном треугольнике `ABC` медиана `CH` является также и высотой, т.е. `CH ⊥ AB`. Так как `MN ⊥ AB`, то `MN || CH`. Аналогично, `PK || CH`.

2. Построение изображения.

При параллельном проецировании сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой, и параллельность прямых. Используем это для построения изображения `M₁N₁K₁P₁` в треугольнике `A₁B₁C₁`.

Построение:

1. Находим середину `H₁` отрезка `A₁B₁`. Это можно сделать, например, проведя через концы отрезка `A₁` и `B₁` параллельные прямые, отложив на них равные отрезки в одном направлении, соединив их концы и найдя точку пересечения с `A₁B₁`, либо используя циркуль и линейку по стандартному алгоритму.
2. Соединяем точку `C₁` с точкой `H₁`. Отрезок `C₁H₁` является изображением медианы (и высоты) `CH`.
3. Находим точку `M₁` как середину отрезка `A₁H₁`.
4. Находим точку `P₁` как середину отрезка `H₁B₁`. Точки `M₁` и `P₁` делят отрезок `A₁B₁` в отношении `1:2:1`, что соответствует прообразу.
5. Через точку `M₁` проводим прямую, параллельную `C₁H₁`. Точка пересечения этой прямой со стороной `A₁C₁` является искомой вершиной `N₁`.
6. Через точку `P₁` проводим прямую, параллельную `C₁H₁`. Точка пересечения этой прямой со стороной `B₁C₁` является искомой вершиной `K₁`.
7. Последовательно соединяем точки `M₁`, `N₁`, `K₁` и `P₁`. Полученный четырехугольник `M₁N₁K₁P₁` является искомым изображением прямоугольника.

Ответ: Искомое изображение прямоугольника `M₁N₁K₁P₁` построено согласно шагам, описанным выше.

60. Треугольник $A_1B_1C_1$ — изображение равностороннего треугольника $ABC$. Постройте изображение равностороннего треугольника $BCD$, лежащего в плоскости $ABC$.

Поскольку треугольник $ABC$ является равносторонним, то все его стороны равны: $AB = BC = CA$. Аналогично, для равностороннего треугольника $BCD$ имеем $BC = CD = DB$. Так как оба треугольника лежат в одной плоскости и имеют общую сторону $BC$, то четырехугольник $ABDC$ является ромбом, поскольку все его стороны равны ($AB = BD = DC = CA$).

Ключевым свойством ромба (как и любого параллелограмма) является то, что его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей $AD$ и $BC$ как $M$. Таким образом, точка $M$ является серединой как отрезка $BC$, так и отрезка $AD$.

Параллельное проектирование сохраняет аффинные свойства фигур, к которым относятся параллельность прямых и отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых. Важным следствием этого является то, что середина отрезка при проектировании переходит в середину его изображения.

Пусть $A_1B_1C_1$ — данное изображение (проекция) треугольника $ABC$. Тогда для построения изображения $D_1$ вершины $D$ мы можем воспользоваться свойством сохранения середины отрезка. Изображение точки $M$, обозначим его $M_1$, будет являться серединой отрезка $B_1C_1$. В то же время, точка $M_1$ должна быть серединой изображения $A_1D_1$ диагонали $AD$. Это означает, что точки $A_1$, $M_1$ и $D_1$ лежат на одной прямой, и при этом $A_1M_1 = M_1D_1$.

Таким образом, построение сводится к следующим шагам: сначала находится середина $M_1$ стороны $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Затем проводится прямая через точки $A_1$ и $M_1$. На продолжении отрезка $A_1M_1$ за точку $M_1$ откладывается отрезок $M_1D_1$, равный по длине отрезку $A_1M_1$. Полученная точка $D_1$ и будет являться искомым изображением вершины $D$. Соединив точки $B_1$, $C_1$ и $D_1$, мы получим треугольник $B_1C_1D_1$ — изображение равностороннего треугольника $BCD$.

Ответ: Для построения изображения равностороннего треугольника $BCD$ необходимо найти середину $M_1$ стороны $B_1C_1$ в данном изображении $A_1B_1C_1$. Затем следует провести прямую через точки $A_1$ и $M_1$ и на ее продолжении за точку $M_1$ отложить отрезок $M_1D_1$, равный по длине отрезку $A_1M_1$. Полученная точка $D_1$ является искомой вершиной, а треугольник $B_1C_1D_1$ — искомым изображением.

61. Треугольник $A_1B_1C_1$ — изображение равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$, $AB : AC = 3 : 2$. Постройте изображение центра окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Центр вписанной в треугольник окружности, или инцентр, является точкой пересечения его биссектрис. Для построения изображения инцентра $I_1$ треугольника $ABC$ в данном изображении $A_1B_1C_1$ необходимо использовать свойства равнобедренного треугольника и свойства параллельного проектирования.

Анализ и обоснование построения

1. В исходном равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BM$, проведенная из вершины $B$ к основанию, является также биссектрисой угла $B$ и высотой. Это означает, что центр вписанной окружности $I$ лежит на отрезке $BM$.

2. При параллельном проектировании сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой (или на параллельных прямых). Также середина отрезка проектируется в середину проекции отрезка. Следовательно, изображение медианы $BM$ — это отрезок $B_1M_1$, где $M_1$ является серединой стороны $A_1C_1$. Изображение инцентра $I_1$ будет лежать на отрезке $B_1M_1$.

3. Чтобы найти точное положение точки $I_1$ на $B_1M_1$, определим, в каком отношении инцентр $I$ делит медиану $BM$. Рассмотрим треугольник $ABM$. Отрезок $AI$ является биссектрисой угла $BAM$ (т.к. $I$ — инцентр). По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$ \frac{BI}{IM} = \frac{AB}{AM} $$

4. Из условия задачи известно, что $AB : AC = 3 : 2$. Мы можем принять длины сторон равными $AB = 3k$ и $AC = 2k$ для некоторого коэффициента $k$. Так как $M$ — середина основания $AC$, то $AM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2}(2k) = k$.

5. Подставим найденные значения в пропорцию:

$$ \frac{BI}{IM} = \frac{3k}{k} = \frac{3}{1} $$

Таким образом, инцентр $I$ делит медиану $BM$ в отношении $3:1$, считая от вершины $B$.

6. Так как параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков на одной прямой, точка $I_1$ должна делить отрезок $B_1M_1$ в том же отношении: $B_1I_1 : I_1M_1 = 3:1$.

Построение

На основе вышеизложенного, построение изображения центра вписанной окружности сводится к следующим шагам:

1. Найти середину $M_1$ отрезка $A_1C_1$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки или с помощью стандартных построений для проекций (например, с использованием теоремы о медианах).
2. Соединить вершину $B_1$ с точкой $M_1$. Отрезок $B_1M_1$ является изображением медианы и биссектрисы $BM$.
3. Разделить отрезок $B_1M_1$ в отношении $3:1$, считая от точки $B_1$. Для этого:
   • Из точки $B_1$ провести произвольный луч, не лежащий на прямой $B_1M_1$.
   • На этом луче отложить от точки $B_1$ четыре ($3+1=4$) равных отрезка произвольной длины. Обозначим концы отрезков как $P_1, P_2, P_3, P_4$.
   • Соединить точку $P_4$ с точкой $M_1$.
   • Провести через точку $P_3$ прямую, параллельную отрезку $P_4M_1$.
   • Точка пересечения этой прямой с отрезком $B_1M_1$ и будет искомой точкой $I_1$.

Построенная точка $I_1$ является изображением центра окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Ответ: Изображение центра вписанной окружности — это точка $I_1$, которая делит изображение медианы $B_1M_1$ (где $M_1$ — середина $A_1C_1$) в отношении $B_1I_1 : I_1M_1 = 3:1$.

62. Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — параллельные проекции точек $A$, $B$ и $C$ на плоскость $\alpha$ (рис. 50). Постройте проекцию на плоскость $\alpha$ точки $M$, лежащей в плоскости $ABC$.

Рис. 50

Для построения проекции точки $M$ (обозначим ее $M_1$) на плоскость $\alpha$ воспользуемся тем, что параллельное проецирование сохраняет принадлежность точки прямой (инцидентность). Это значит, что если точка $M$ лежит на некоторой прямой $l$, то ее проекция $M_1$ будет лежать на проекции этой прямой $l_1$. Чтобы однозначно определить положение точки $M_1$, нам нужно найти две такие прямые, на пересечении которых она находится. Так как точка $M$ лежит в плоскости $ABC$, мы можем провести через нее вспомогательные прямые, используя вершины треугольника $ABC$.

Алгоритм построения:

1. Проведем прямую через точки $A$ и $M$ до пересечения с прямой $BC$. Обозначим точку пересечения как $K$. Таким образом, точка $K$ лежит на прямой $BC$.
2. Построим проекцию точки $K$ на плоскость $\alpha$. Так как $K$ лежит на прямой $BC$, ее проекция $K_1$ будет лежать на прямой $B_1C_1$. Чтобы найти $K_1$, проведем через точку $K$ прямую, параллельную направлению проецирования (например, прямой $AA_1$). Точка пересечения построенной прямой с прямой $B_1C_1$ и будет искомой точкой $K_1$.
3. Соединим точки $A_1$ и $K_1$. Прямая $A_1K_1$ является проекцией прямой $AK$. Так как точка $M$ лежит на прямой $AK$, ее проекция $M_1$ должна лежать на прямой $A_1K_1$.
4. Чтобы найти точное положение $M_1$, нам нужна еще одна прямая. Проведем прямую через точки $B$ и $M$ до пересечения с прямой $AC$. Обозначим точку пересечения как $L$.
5. Аналогично пункту 2, построим проекцию точки $L$ на плоскость $\alpha$. Проведем через $L$ прямую, параллельную $AA_1$, до пересечения с прямой $A_1C_1$. Полученная точка $L_1$ является проекцией точки $L$.
6. Соединим точки $B_1$ и $L_1$. Прямая $B_1L_1$ является проекцией прямой $BL$. Так как $M$ лежит на прямой $BL$, ее проекция $M_1$ должна лежать на прямой $B_1L_1$.
7. Искомая точка $M_1$ является точкой пересечения построенных прямых $A_1K_1$ и $B_1L_1$.

Пересечение прямых $A_1K_1$ и $B_1L_1$ однозначно определяет положение точки $M_1$, которая является параллельной проекцией точки $M$ на плоскость $\alpha$.

Ответ: Искомая точка $M_1$ построена как точка пересечения прямых $A_1K_1$ и $B_1L_1$, где $K_1$ и $L_1$ — проекции точек $K = AM \cap BC$ и $L = BM \cap AC$ соответственно, построенные согласно описанному выше алгоритму.