Номер 60, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. Треугольник $A_1B_1C_1$ — изображение равностороннего треугольника $ABC$. Постройте изображение равностороннего треугольника $BCD$, лежащего в плоскости $ABC$.

Поскольку треугольник $ABC$ является равносторонним, то все его стороны равны: $AB = BC = CA$. Аналогично, для равностороннего треугольника $BCD$ имеем $BC = CD = DB$. Так как оба треугольника лежат в одной плоскости и имеют общую сторону $BC$, то четырехугольник $ABDC$ является ромбом, поскольку все его стороны равны ($AB = BD = DC = CA$).

Ключевым свойством ромба (как и любого параллелограмма) является то, что его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей $AD$ и $BC$ как $M$. Таким образом, точка $M$ является серединой как отрезка $BC$, так и отрезка $AD$.

Параллельное проектирование сохраняет аффинные свойства фигур, к которым относятся параллельность прямых и отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых. Важным следствием этого является то, что середина отрезка при проектировании переходит в середину его изображения.

Пусть $A_1B_1C_1$ — данное изображение (проекция) треугольника $ABC$. Тогда для построения изображения $D_1$ вершины $D$ мы можем воспользоваться свойством сохранения середины отрезка. Изображение точки $M$, обозначим его $M_1$, будет являться серединой отрезка $B_1C_1$. В то же время, точка $M_1$ должна быть серединой изображения $A_1D_1$ диагонали $AD$. Это означает, что точки $A_1$, $M_1$ и $D_1$ лежат на одной прямой, и при этом $A_1M_1 = M_1D_1$.

Таким образом, построение сводится к следующим шагам: сначала находится середина $M_1$ стороны $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Затем проводится прямая через точки $A_1$ и $M_1$. На продолжении отрезка $A_1M_1$ за точку $M_1$ откладывается отрезок $M_1D_1$, равный по длине отрезку $A_1M_1$. Полученная точка $D_1$ и будет являться искомым изображением вершины $D$. Соединив точки $B_1$, $C_1$ и $D_1$, мы получим треугольник $B_1C_1D_1$ — изображение равностороннего треугольника $BCD$.

Ответ: Для построения изображения равностороннего треугольника $BCD$ необходимо найти середину $M_1$ стороны $B_1C_1$ в данном изображении $A_1B_1C_1$. Затем следует провести прямую через точки $A_1$ и $M_1$ и на ее продолжении за точку $M_1$ отложить отрезок $M_1D_1$, равный по длине отрезку $A_1M_1$. Полученная точка $D_1$ является искомой вершиной, а треугольник $B_1C_1D_1$ — искомым изображением.