Номер 59, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. Треугольник $A_1B_1C_1$ — изображение прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AB$. Постройте изображение прямоугольника $MNKP$, если $N \in AC, K \in BC, M \in AB, P \in AB, AM : MP = 1 : 2$.

Для построения изображения прямоугольника $MNKP$ выполним сначала анализ свойств его прообраза в исходном прямоугольном равнобедренном треугольнике $ABC$.

1. Анализ прообраза.

Пусть $ΔABC$ — прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине $C$ и гипотенузой $AB$. Тогда его острые углы $∠A = ∠B = 45°$.

Прямоугольник $MNKP$ вписан в треугольник так, что его сторона $MP$ лежит на гипотенузе $AB$, а вершины $N$ и $K$ — на катетах $AC$ и $BC$ соответственно.

Поскольку $MNKP$ — прямоугольник, его стороны $MN$ и $PK$ перпендикулярны стороне $MP$, а значит, и гипотенузе $AB$. Таким образом, $MN ⊥ AB$ и $PK ⊥ AB$.

Рассмотрим треугольник $ΔAMN$. Он прямоугольный, так как $∠NMA = 90°$. Один из его углов $∠A = 45°$, следовательно, $ΔAMN$ также является равнобедренным, и $AM = MN$.

Аналогично, в $ΔPKB$: $∠PKB = 90°$ и $∠B = 45°$, значит $ΔPKB$ — равнобедренный, и $PK = PB$.

Так как $MNKP$ — прямоугольник, то $MN = PK$. Из полученных выше равенств следует, что $AM = PB$.

По условию задачи дано отношение $AM : MP = 1 : 2$. Пусть $AM = x$, тогда $MP = 2x$. Поскольку $AM = PB$, то $PB = x$.

Таким образом, точки $M$ и $P$ делят гипотенузу $AB$ в отношении $AM : MP : PB = x : 2x : x = 1 : 2 : 1$. Это означает, что точки $M$ и $P$ вместе с точками $A$ и $B$ делят гипотенузу $AB$ на 4 равные части.

Пусть $H$ — середина гипотенузы $AB$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $CH$ является также и высотой, т.е. $CH ⊥ AB$. Так как $MN ⊥ AB$, то $MN || CH$. Аналогично, $PK || CH$.

2. Построение изображения.

При параллельном проецировании сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой, и параллельность прямых. Используем это для построения изображения $M₁N₁K₁P₁$ в треугольнике $A₁B₁C₁$.

Построение:

1. Находим середину $H₁$ отрезка $A₁B₁$. Это можно сделать, например, проведя через концы отрезка $A₁$ и $B₁$ параллельные прямые, отложив на них равные отрезки в одном направлении, соединив их концы и найдя точку пересечения с $A₁B₁$, либо используя циркуль и линейку по стандартному алгоритму.
2. Соединяем точку $C₁$ с точкой $H₁$. Отрезок $C₁H₁$ является изображением медианы (и высоты) $CH$.
3. Находим точку $M₁$ как середину отрезка $A₁H₁$.
4. Находим точку $P₁$ как середину отрезка $H₁B₁$. Точки $M₁$ и $P₁$ делят отрезок $A₁B₁$ в отношении $1:2:1$, что соответствует прообразу.
5. Через точку $M₁$ проводим прямую, параллельную $C₁H₁$. Точка пересечения этой прямой со стороной $A₁C₁$ является искомой вершиной $N₁$.
6. Через точку $P₁$ проводим прямую, параллельную $C₁H₁$. Точка пересечения этой прямой со стороной $B₁C₁$ является искомой вершиной $K₁$.
7. Последовательно соединяем точки $M₁$, $N₁$, $K₁$ и $P₁$. Полученный четырехугольник $M₁N₁K₁P₁$ является искомым изображением прямоугольника.

Ответ: Искомое изображение прямоугольника $M₁N₁K₁P₁$ построено согласно шагам, описанным выше.