Номер 59, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. Треугольник $A_1B_1C_1$ — изображение прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AB$. Постройте изображение прямоугольника $MNKP$, если $N \in AC, K \in BC, M \in AB, P \in AB, AM : MP = 1 : 2$.

Для построения изображения прямоугольника `MNKP` выполним сначала анализ свойств его прообраза в исходном прямоугольном равнобедренном треугольнике `ABC`.

1. Анализ прообраза.

Пусть `ΔABC` — прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине `C` и гипотенузой `AB`. Тогда его острые углы `∠A = ∠B = 45°`.

Прямоугольник `MNKP` вписан в треугольник так, что его сторона `MP` лежит на гипотенузе `AB`, а вершины `N` и `K` — на катетах `AC` и `BC` соответственно.

Поскольку `MNKP` — прямоугольник, его стороны `MN` и `PK` перпендикулярны стороне `MP`, а значит, и гипотенузе `AB`. Таким образом, `MN ⊥ AB` и `PK ⊥ AB`.

Рассмотрим треугольник `ΔAMN`. Он прямоугольный, так как `∠NMA = 90°`. Один из его углов `∠A = 45°`, следовательно, `ΔAMN` также является равнобедренным, и `AM = MN`.

Аналогично, в `ΔPKB`: `∠PKB = 90°` и `∠B = 45°`, значит `ΔPKB` — равнобедренный, и `PK = PB`.

Так как `MNKP` — прямоугольник, то `MN = PK`. Из полученных выше равенств следует, что `AM = PB`.

По условию задачи дано отношение `AM : MP = 1 : 2`. Пусть `AM = x`, тогда `MP = 2x`. Поскольку `AM = PB`, то `PB = x`.

Таким образом, точки `M` и `P` делят гипотенузу `AB` в отношении `AM : MP : PB = x : 2x : x = 1 : 2 : 1`. Это означает, что точки `M` и `P` вместе с точками `A` и `B` делят гипотенузу `AB` на 4 равные части.

Пусть `H` — середина гипотенузы `AB`. В равнобедренном треугольнике `ABC` медиана `CH` является также и высотой, т.е. `CH ⊥ AB`. Так как `MN ⊥ AB`, то `MN || CH`. Аналогично, `PK || CH`.

2. Построение изображения.

При параллельном проецировании сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой, и параллельность прямых. Используем это для построения изображения `M₁N₁K₁P₁` в треугольнике `A₁B₁C₁`.

Построение:

1. Находим середину `H₁` отрезка `A₁B₁`. Это можно сделать, например, проведя через концы отрезка `A₁` и `B₁` параллельные прямые, отложив на них равные отрезки в одном направлении, соединив их концы и найдя точку пересечения с `A₁B₁`, либо используя циркуль и линейку по стандартному алгоритму.
2. Соединяем точку `C₁` с точкой `H₁`. Отрезок `C₁H₁` является изображением медианы (и высоты) `CH`.
3. Находим точку `M₁` как середину отрезка `A₁H₁`.
4. Находим точку `P₁` как середину отрезка `H₁B₁`. Точки `M₁` и `P₁` делят отрезок `A₁B₁` в отношении `1:2:1`, что соответствует прообразу.
5. Через точку `M₁` проводим прямую, параллельную `C₁H₁`. Точка пересечения этой прямой со стороной `A₁C₁` является искомой вершиной `N₁`.
6. Через точку `P₁` проводим прямую, параллельную `C₁H₁`. Точка пересечения этой прямой со стороной `B₁C₁` является искомой вершиной `K₁`.
7. Последовательно соединяем точки `M₁`, `N₁`, `K₁` и `P₁`. Полученный четырехугольник `M₁N₁K₁P₁` является искомым изображением прямоугольника.

Ответ: Искомое изображение прямоугольника `M₁N₁K₁P₁` построено согласно шагам, описанным выше.