Номер 61, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. Треугольник $A_1B_1C_1$ — изображение равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$, $AB : AC = 3 : 2$. Постройте изображение центра окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Центр вписанной в треугольник окружности, или инцентр, является точкой пересечения его биссектрис. Для построения изображения инцентра $I_1$ треугольника $ABC$ в данном изображении $A_1B_1C_1$ необходимо использовать свойства равнобедренного треугольника и свойства параллельного проектирования.

Анализ и обоснование построения

1. В исходном равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BM$, проведенная из вершины $B$ к основанию, является также биссектрисой угла $B$ и высотой. Это означает, что центр вписанной окружности $I$ лежит на отрезке $BM$.

2. При параллельном проектировании сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой (или на параллельных прямых). Также середина отрезка проектируется в середину проекции отрезка. Следовательно, изображение медианы $BM$ — это отрезок $B_1M_1$, где $M_1$ является серединой стороны $A_1C_1$. Изображение инцентра $I_1$ будет лежать на отрезке $B_1M_1$.

3. Чтобы найти точное положение точки $I_1$ на $B_1M_1$, определим, в каком отношении инцентр $I$ делит медиану $BM$. Рассмотрим треугольник $ABM$. Отрезок $AI$ является биссектрисой угла $BAM$ (т.к. $I$ — инцентр). По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$ \frac{BI}{IM} = \frac{AB}{AM} $$

4. Из условия задачи известно, что $AB : AC = 3 : 2$. Мы можем принять длины сторон равными $AB = 3k$ и $AC = 2k$ для некоторого коэффициента $k$. Так как $M$ — середина основания $AC$, то $AM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2}(2k) = k$.

5. Подставим найденные значения в пропорцию:

$$ \frac{BI}{IM} = \frac{3k}{k} = \frac{3}{1} $$

Таким образом, инцентр $I$ делит медиану $BM$ в отношении $3:1$, считая от вершины $B$.

6. Так как параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков на одной прямой, точка $I_1$ должна делить отрезок $B_1M_1$ в том же отношении: $B_1I_1 : I_1M_1 = 3:1$.

Построение

На основе вышеизложенного, построение изображения центра вписанной окружности сводится к следующим шагам:

1. Найти середину $M_1$ отрезка $A_1C_1$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки или с помощью стандартных построений для проекций (например, с использованием теоремы о медианах).
2. Соединить вершину $B_1$ с точкой $M_1$. Отрезок $B_1M_1$ является изображением медианы и биссектрисы $BM$.
3. Разделить отрезок $B_1M_1$ в отношении $3:1$, считая от точки $B_1$. Для этого:
   • Из точки $B_1$ провести произвольный луч, не лежащий на прямой $B_1M_1$.
   • На этом луче отложить от точки $B_1$ четыре ($3+1=4$) равных отрезка произвольной длины. Обозначим концы отрезков как $P_1, P_2, P_3, P_4$.
   • Соединить точку $P_4$ с точкой $M_1$.
   • Провести через точку $P_3$ прямую, параллельную отрезку $P_4M_1$.
   • Точка пересечения этой прямой с отрезком $B_1M_1$ и будет искомой точкой $I_1$.

Построенная точка $I_1$ является изображением центра окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Ответ: Изображение центра вписанной окружности — это точка $I_1$, которая делит изображение медианы $B_1M_1$ (где $M_1$ — середина $A_1C_1$) в отношении $B_1I_1 : I_1M_1 = 3:1$.