Номер 66, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми $AC_1$ и $BD$, если $AD = 12$ см, $C_1D = 8$ см, $AA_1 = 4$ см.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $A_1C_1$ и $BD$ в прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$, воспользуемся методом параллельного переноса. Прямая $AC$, лежащая в основании $ABCD$, параллельна прямой $A_1C_1$, лежащей в основании $A_1B_1C_1D_1$ (так как $ACC_1A_1$ — прямоугольник). Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми $A_1C_1$ и $BD$ равен углу между пересекающимися прямыми $AC$ и $BD$. Эти прямые являются диагоналями основания — прямоугольника $ABCD$.

Чтобы найти угол между диагоналями прямоугольника $ABCD$, нам необходимо знать длины его сторон $AD$ и $CD$. По условию, $AD = 12$ см. Найдем длину стороны $CD$.

Рассмотрим боковую грань $CDD_1C_1$, которая является прямоугольником. В ней проведен отрезок $C_1D$, который, согласно условию, равен 8 см. Этот отрезок является диагональю данной грани. Высота параллелепипеда $DD_1$ равна $AA_1$, то есть $DD_1 = 4$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDD_1$ (угол $\angle CDD_1 = 90^\circ$). По теореме Пифагора:
$C_1D^2 = CD^2 + DD_1^2$
Подставим известные значения:
$8^2 = CD^2 + 4^2$
$64 = CD^2 + 16$
$CD^2 = 64 - 16 = 48$
$CD = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь мы знаем длины сторон основания $ABCD$: $AD = 12$ см и $CD = 4\sqrt{3}$ см. Найдем длину диагонали $AC$, используя прямоугольный треугольник $\triangle ADC$ (угол $\angle ADC = 90^\circ$):
$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 12^2 + (4\sqrt{3})^2 = 144 + 16 \cdot 3 = 144 + 48 = 192$.
$AC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда:
$AO = OC = BO = OD = \frac{1}{2} AC = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Угол между диагоналями — это угол в треугольнике, образованном двумя половинами диагоналей и стороной прямоугольника. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Его стороны:
$AO = 4\sqrt{3}$ см
$BO = 4\sqrt{3}$ см
$AB = CD = 4\sqrt{3}$ см
Поскольку все три стороны треугольника $\triangle AOB$ равны, он является равносторонним. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Таким образом, угол $\angle AOB$, который является углом между диагоналями $AC$ и $BD$, равен $60^\circ$.

Так как искомый угол между прямыми $A_1C_1$ и $BD$ равен углу между прямыми $AC$ и $BD$, он также равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.