Страница 43 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Угол между прямыми в пространстве

63. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 51). Найдите угол между прямыми:

1) $AB_1$ и $AD_1$;

2) $AD$ и $BB_1$;

3) $AD_1$ и $BC_1$;

4) $AD_1$ и $BC$;

5) $AB_1$ и $CC_1$.

Рис. 51

1) AB₁ и AD₁
Прямые $AB_1$ и $AD_1$ являются диагоналями граней куба $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$ соответственно. Они выходят из одной вершины A, поэтому угол между ними — это угол $\angle B_1AD_1$. Рассмотрим треугольник $\triangle AB_1D_1$. Его стороны: $AB_1$, $AD_1$ и $B_1D_1$.
Пусть ребро куба равно $a$. Тогда длины сторон треугольника, как диагонали граней куба, равны:
$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$
$AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$
$B_1D_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + A_1D_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$
Так как все стороны треугольника $\triangle AB_1D_1$ равны ($AB_1 = AD_1 = B_1D_1$), то этот треугольник является равносторонним. Углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle B_1AD_1 = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

2) AD и BB₁
Прямые $AD$ и $BB_1$ являются скрещивающимися. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным.
Ребро $BB_1$ параллельно ребру $AA_1$ ($BB_1 \parallel AA_1$). Поэтому угол между прямыми $AD$ и $BB_1$ равен углу между прямыми $AD$ и $AA_1$.
Ребра $AD$ и $AA_1$ выходят из одной вершины A и лежат в одной грани $ADD_1A_1$, которая является квадратом. Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

3) AD₁ и BC₁
Прямые $AD_1$ и $BC_1$ являются диагоналями противоположных граней куба $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$.
Вектор $\vec{BC_1}$ можно получить, выполнив параллельный перенос вектора $\vec{AD_1}$ на вектор $\vec{AB}$. Поскольку при параллельном переносе вектор не меняется, $\vec{AD_1} = \vec{BC_1}$. Это означает, что прямые $AD_1$ и $BC_1$ параллельны ($AD_1 \parallel BC_1$).
Угол между параллельными прямыми равен $0^\circ$.
Ответ: $0^\circ$.

4) AD₁ и BC
Прямые $AD_1$ и $BC$ являются скрещивающимися.
Ребро $BC$ параллельно ребру $AD$ ($BC \parallel AD$), так как $ABCD$ — квадрат. Поэтому угол между прямыми $AD_1$ и $BC$ равен углу между прямыми $AD_1$ и $AD$.
Эти прямые лежат в плоскости грани $ADD_1A_1$ и пересекаются в точке A. Угол между ними — это угол $\angle DAD_1$.
Треугольник $\triangle ADD_1$ является прямоугольным ($\angle D_1DA = 90^\circ$) и равнобедренным, так как катеты $AD$ и $DD_1$ — ребра куба ($AD = DD_1$). Следовательно, острые углы в этом треугольнике равны $45^\circ$. Таким образом, $\angle DAD_1 = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

5) AB₁ и CC₁
Прямые $AB_1$ и $CC_1$ являются скрещивающимися.
Ребро $CC_1$ параллельно ребру $BB_1$ ($CC_1 \parallel BB_1$), так как $BCC_1B_1$ — квадрат. Поэтому угол между прямыми $AB_1$ и $CC_1$ равен углу между прямыми $AB_1$ и $BB_1$.
Эти прямые лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$ и пересекаются в точке $B_1$. Угол между ними — это угол $\angle AB_1B$.
Треугольник $\triangle ABB_1$ является прямоугольным ($\angle ABB_1 = 90^\circ$) и равнобедренным, так как катеты $AB$ и $BB_1$ — ребра куба ($AB = BB_1$). Следовательно, острые углы в этом треугольнике равны $45^\circ$. Таким образом, $\angle AB_1B = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

64. Треугольники $ABC$ и $ADC$ не лежат в одной плоскости. Точки $E$, $F$, $M$ и $K$ — середины соответственно отрезков $AD$, $CD$, $AB$ и $BC$, $\angle ACB = 95^\circ$. Найдите угол между прямыми:

1) $EF$ и $MK$;

2) $EF$ и $BC$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$.

По условию, точки $E$, $F$, $M$ и $K$ — середины отрезков $AD$, $CD$, $AB$ и $BC$ соответственно.

В треугольнике $ADC$ отрезок $EF$ соединяет середины сторон $AD$ и $CD$. Следовательно, $EF$ является средней линией треугольника $ADC$. По свойству средней линии, $EF$ параллельна стороне $AC$ и равна ее половине: $EF \parallel AC$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $MK$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $MK$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $MK$ параллельна стороне $AC$ и равна ее половине: $MK \parallel AC$.

1) EF и MK

Мы установили, что $EF \parallel AC$ и $MK \parallel AC$. Так как две прямые ($EF$ и $MK$) параллельны третьей прямой ($AC$), то они параллельны между собой: $EF \parallel MK$. Угол между параллельными прямыми по определению равен $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$.

2) EF и BC

Угол между скрещивающимися прямыми $EF$ и $BC$ равен углу между прямой $BC$ и любой прямой, параллельной $EF$ и пересекающей $BC$. Так как $EF \parallel AC$, то искомый угол равен углу между прямыми $AC$ и $BC$. Эти прямые пересекаются в точке $C$ и образуют угол $\angle ACB$, который по условию равен $95^\circ$. Угол между двумя пересекающимися прямыми — это наименьший из углов, образованных при их пересечении. При пересечении прямых $AC$ и $BC$ образуются два смежных угла, один из которых равен $95^\circ$, а другой — $180^\circ - 95^\circ = 85^\circ$. Наименьший из этих углов равен $85^\circ$.

Ответ: $85^\circ$.

65. Известно, что $OA \perp OB$, $OA \perp OC$, $OB \perp OC$ (рис. 52). Найдите отрезок $BC$, если $AB = 8$ см, $AC = 7$ см, $\angle BAO = 60^{\circ}$.

Рис. 52

Поскольку по условию отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ попарно перпендикулярны ($OA \perp OB$, $OA \perp OC$, $OB \perp OC$), то треугольники $\triangle AOB$, $\triangle AOC$ и $\triangle BOC$ являются прямоугольными с общим прямым углом при вершине $O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$. В нем известна гипотенуза $AB = 8$ см и острый угол $\angle BAO = 60^\circ$. Найдем длины катетов $OA$ и $OB$, используя тригонометрические соотношения: $OA = AB \cdot \cos(\angle BAO) = 8 \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см. $OB = AB \cdot \sin(\angle BAO) = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOC$. В нем известна гипотенуза $AC = 7$ см и катет $OA = 4$ см. Применим теорему Пифагора, чтобы найти длину катета $OC$: $AC^2 = OA^2 + OC^2$. $OC^2 = AC^2 - OA^2 = 7^2 - 4^2 = 49 - 16 = 33$. $OC = \sqrt{33}$ см.

Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BOC$. Мы нашли длины его катетов: $OB = 4\sqrt{3}$ см и $OC = \sqrt{33}$ см. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $BC$: $BC^2 = OB^2 + OC^2 = (4\sqrt{3})^2 + (\sqrt{33})^2 = 16 \cdot 3 + 33 = 48 + 33 = 81$. $BC = \sqrt{81} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

66. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми $AC_1$ и $BD$, если $AD = 12$ см, $C_1D = 8$ см, $AA_1 = 4$ см.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $A_1C_1$ и $BD$ в прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$, воспользуемся методом параллельного переноса. Прямая $AC$, лежащая в основании $ABCD$, параллельна прямой $A_1C_1$, лежащей в основании $A_1B_1C_1D_1$ (так как $ACC_1A_1$ — прямоугольник). Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми $A_1C_1$ и $BD$ равен углу между пересекающимися прямыми $AC$ и $BD$. Эти прямые являются диагоналями основания — прямоугольника $ABCD$.

Чтобы найти угол между диагоналями прямоугольника $ABCD$, нам необходимо знать длины его сторон $AD$ и $CD$. По условию, $AD = 12$ см. Найдем длину стороны $CD$.

Рассмотрим боковую грань $CDD_1C_1$, которая является прямоугольником. В ней проведен отрезок $C_1D$, который, согласно условию, равен 8 см. Этот отрезок является диагональю данной грани. Высота параллелепипеда $DD_1$ равна $AA_1$, то есть $DD_1 = 4$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDD_1$ (угол $\angle CDD_1 = 90^\circ$). По теореме Пифагора:
$C_1D^2 = CD^2 + DD_1^2$
Подставим известные значения:
$8^2 = CD^2 + 4^2$
$64 = CD^2 + 16$
$CD^2 = 64 - 16 = 48$
$CD = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь мы знаем длины сторон основания $ABCD$: $AD = 12$ см и $CD = 4\sqrt{3}$ см. Найдем длину диагонали $AC$, используя прямоугольный треугольник $\triangle ADC$ (угол $\angle ADC = 90^\circ$):
$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 12^2 + (4\sqrt{3})^2 = 144 + 16 \cdot 3 = 144 + 48 = 192$.
$AC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда:
$AO = OC = BO = OD = \frac{1}{2} AC = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Угол между диагоналями — это угол в треугольнике, образованном двумя половинами диагоналей и стороной прямоугольника. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Его стороны:
$AO = 4\sqrt{3}$ см
$BO = 4\sqrt{3}$ см
$AB = CD = 4\sqrt{3}$ см
Поскольку все три стороны треугольника $\triangle AOB$ равны, он является равносторонним. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Таким образом, угол $\angle AOB$, который является углом между диагоналями $AC$ и $BD$, равен $60^\circ$.

Так как искомый угол между прямыми $A_1C_1$ и $BD$ равен углу между прямыми $AC$ и $BD$, он также равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

67. Точки $M, N, K$ и $P$ — середины соответственно рёбер $AB, BD, CD$ и $AC$ тетраэдра $DABC$, $BC = 6$ см, $AD = 4\sqrt{3}$ см, $NP = \sqrt{39}$ см. Найдите угол между прямыми $BC$ и $AD$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BC$ и $AD$ воспользуемся методом параллельного переноса. Построим прямые, параллельные данным, которые пересекаются.

Рассмотрим треугольник $DAB$. Так как точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $BD$ соответственно, то отрезок $MN$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $MN$ параллельна $AD$ и равна половине её длины:
$MN \parallel AD$ и $MN = \frac{1}{2}AD$.

Подставим известное значение $AD = 4\sqrt{3}$ см:
$MN = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Аналогично, в треугольнике $ABC$ отрезок $MP$ (где $M$ и $P$ — середины $AB$ и $AC$) является средней линией. Следовательно, $MP$ параллельна $BC$ и равна половине её длины:
$MP \parallel BC$ и $MP = \frac{1}{2}BC$.

Подставим известное значение $BC = 6$ см:
$MP = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Угол между скрещивающимися прямыми $BC$ и $AD$ по определению равен углу между пересекающимися прямыми $MP$ и $MN$, которые им соответственно параллельны. Таким образом, искомый угол равен углу $\angle NMP$.

Рассмотрим треугольник $MNP$. Нам известны длины всех трёх его сторон: $MN = 2\sqrt{3}$ см, $MP = 3$ см и $NP = \sqrt{39}$ см (по условию).

Применим к треугольнику $MNP$ теорему косинусов для нахождения косинуса угла $\angle NMP$:
$NP^2 = MN^2 + MP^2 - 2 \cdot MN \cdot MP \cdot \cos(\angle NMP)$

Подставим известные значения в формулу:
$(\sqrt{39})^2 = (2\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot 3 \cdot \cos(\angle NMP)$
$39 = (4 \cdot 3) + 9 - 12\sqrt{3} \cdot \cos(\angle NMP)$
$39 = 12 + 9 - 12\sqrt{3} \cdot \cos(\angle NMP)$
$39 = 21 - 12\sqrt{3} \cdot \cos(\angle NMP)$

Выразим $\cos(\angle NMP)$:
$39 - 21 = -12\sqrt{3} \cdot \cos(\angle NMP)$
$18 = -12\sqrt{3} \cdot \cos(\angle NMP)$
$\cos(\angle NMP) = \frac{18}{-12\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Значение косинуса отрицательное, значит, угол $\angle NMP$ — тупой.
$\angle NMP = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 150^{\circ}$.

Углом между двумя прямыми по определению считается наименьший из углов, образованных при их пересечении, то есть угол в диапазоне от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$. Если при пересечении прямых образуется тупой угол (в нашем случае $150^{\circ}$), то углом между прямыми считается смежный с ним острый угол.

Искомый угол $\alpha$ равен:
$\alpha = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.

Ответ: $30^{\circ}$.

Перпендикулярность прямой и плоскости

68. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ проведена прямая $BD$, перпендикулярная плоскости $ABC$ (рис. 53). Точка $M$ — середина отрезка $AC$. Найдите отрезок $DM$, если $AB = BC = 17$ см, $AC = 30$ см, $DB = 4\sqrt{5}$ см.

Рис. 53

Поскольку по условию прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ABC$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. Отрезок $BM$ лежит в плоскости $ABC$ и проходит через точку $B$, следовательно, $BD \perp BM$. Это означает, что треугольник $DBM$ является прямоугольным, где $\angle DBM = 90^\circ$.

Для нахождения длины гипотенузы $DM$ в прямоугольном треугольнике $DBM$ воспользуемся теоремой Пифагора: $DM^2 = DB^2 + BM^2$.

Длина катета $DB$ дана в условии: $DB = 4\sqrt{5}$ см. Необходимо найти длину катета $BM$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Из условия известно, что $AB = BC = 17$ см, следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Точка $M$ является серединой отрезка $AC$, значит, $BM$ — медиана, проведенная к основанию. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Таким образом, $BM \perp AC$, и треугольник $BMA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

Найдем длину катета $AM$. Так как $M$ — середина $AC$, то:

$AM = \frac{AC}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Теперь найдем длину катета $BM$ из прямоугольного треугольника $BMA$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AM^2 + BM^2$

$BM^2 = AB^2 - AM^2$

$BM^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$

$BM = \sqrt{64} = 8$ см.

Вернемся к прямоугольному треугольнику $DBM$. Мы нашли длины обоих катетов: $DB = 4\sqrt{5}$ см и $BM = 8$ см. Теперь можем найти длину гипотенузы $DM$:

$DM^2 = DB^2 + BM^2$

$DM^2 = (4\sqrt{5})^2 + 8^2 = (16 \cdot 5) + 64 = 80 + 64 = 144$

$DM = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.