Страница 48 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Теорема о трёх перпендикулярах

98. На рисунке 60 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что прямая $CO$ перпендикулярна прямой $A_1B$.

Рис. 60

Утверждение, приведённое в задаче — "прямая CO перпендикулярна прямой A₁B" — является неверным. Чтобы доказать это, воспользуемся координатным методом.

Введём систему координат. Пусть вершина A куба будет в начале координат (0,0,0), ребро AB лежит на оси Ox, ребро AD — на оси Oy, а ребро AA₁ — на оси Oz. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Тогда координаты вершин будут следующими:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(a, 0, 0)$
• $C(a, a, 0)$
• $A_1(0, 0, a)$

Точка O является точкой пересечения диагоналей грани $AA_1B_1B$, то есть серединой отрезка $A_1B$. Найдём её координаты:

$O = \left( \frac{0+a}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{a+0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2} \right)$

Теперь найдём векторы $\vec{CO}$ и $\vec{A_1B}$:

$\vec{CO} = \{ O_x - C_x; O_y - C_y; O_z - C_z \} = \{ \frac{a}{2} - a; 0 - a; \frac{a}{2} - 0 \} = \{ -\frac{a}{2}; -a; \frac{a}{2} \}$

$\vec{A_1B} = \{ B_x - A_{1x}; B_y - A_{1y}; B_z - A_{1z} \} = \{ a - 0; 0 - 0; 0 - a \} = \{ a; 0; -a \}$

Для того чтобы прямые были перпендикулярны, скалярное произведение их направляющих векторов должно быть равно нулю. Проверим это условие:

$\vec{CO} \cdot \vec{A_1B} = (-\frac{a}{2}) \cdot a + (-a) \cdot 0 + (\frac{a}{2}) \cdot (-a) = -\frac{a^2}{2} + 0 - \frac{a^2}{2} = -a^2$

Так как $a \ne 0$, то $-a^2 \ne 0$. Скалярное произведение не равно нулю, следовательно, прямые CO и A₁B не перпендикулярны.

Примечание: Распространённая ошибка в геометрическом доказательстве этого неверного утверждения заключается в неверном применении теоремы о трёх перпендикулярах, где ошибочно предполагается, что проекция $BO$ перпендикулярна прямой $A_1B$. На самом деле, точки $B$, $O$ и $A_1$ лежат на одной прямой, поэтому прямая $BO$ совпадает с прямой $A_1B$ и не может быть ей перпендикулярна.

Ответ: Утверждение о перпендикулярности прямых CO и A₁B неверно.

Вероятнее всего, в условии задачи имеется опечатка. Верным является утверждение $DO \perp A_1B$ (или $C_1O \perp A_1B$). Докажем утверждение $DO \perp A_1B$, используя теорему о трёх перпендикулярах, как и предполагает тема раздела.

Доказательство того, что $DO \perp A_1B$:

1. Рассмотрим плоскость грани $AA_1B_1B$. Прямая $A_1B$ лежит в этой плоскости.

2. Ребро $AD$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости $AA_1B_1B$: $AD \perp AB$ (как стороны квадрата $ABCD$) и $AD \perp AA_1$ (так как это рёбра куба, выходящие из одной вершины). Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости $AA_1B_1B$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Рассмотрим наклонную $DO$ к плоскости $AA_1B_1B$. Так как $AD \perp (AA_1B_1B)$, то отрезок $AO$ является проекцией наклонной $DO$ на эту плоскость.

4. В грани $AA_1B_1B$, которая является квадратом, диагонали $A_1B$ и $AB_1$ перпендикулярны. Точка $O$ — их точка пересечения. Прямая $AO$ является частью диагонали $AB_1$. Следовательно, $AO \perp A_1B$.

5. Согласно теореме о трёх перпендикулярах: если проекция наклонной ($AO$) на плоскость перпендикулярна некоторой прямой ($A_1B$), лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная ($DO$) перпендикулярна этой прямой.

Таким образом, $DO \perp A_1B$.

Ответ: что и требовалось доказать.

99. Из точки $F$, не принадлежащей плоскости прямо-угольника $ABCD$, опущен перпендикуляр $FK$ на пло-скость $ABC$ (рис. 61). Постройте перпендикуляр, опу-щенный из точки $F$ на прямую $AD$.

Рис. 61

Для решения этой задачи используется теорема о трех перпендикулярах. Согласно этой теореме, если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

В нашей задаче:

• $FK$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$.
• Любой отрезок, соединяющий точку $F$ с точкой на прямой $AD$, будет наклонной к плоскости $(ABC)$.
• Искомый перпендикуляр из точки $F$ к прямой $AD$ — это наклонная, которую нам нужно построить. Обозначим ее $FM$, где $M$ — точка на прямой $AD$.
• $KM$ — будет проекцией наклонной $FM$ на плоскость $(ABC)$.

Построение

1. В плоскости прямоугольника $ABCD$ проведем из точки $K$ перпендикуляр к прямой $AD$. Точку пересечения этого перпендикуляра с прямой $AD$ назовем $M$. Таким образом, мы получаем отрезок $KM$ такой, что $KM \perp AD$.
2. Соединим точки $F$ и $M$ отрезком.

Полученный отрезок $FM$ и есть искомый перпендикуляр из точки $F$ к прямой $AD$.

Обоснование

Прямая $AD$ перпендикулярна проекции $KM$ по построению. Так как $AD$ лежит в плоскости $(ABC)$ и перпендикулярна проекции наклонной $FM$, то по теореме о трех перпендикулярах прямая $AD$ перпендикулярна и самой наклонной $FM$.

Докажем это подробнее:

1. $FK \perp (ABC)$ по условию.
2. Прямая $AD$ лежит в плоскости $(ABC)$.
3. Из (1) и (2) следует, что $FK \perp AD$ (так как прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости).
4. $KM \perp AD$ по построению.
5. Прямые $FK$ и $KM$ пересекаются в точке $K$.
6. Из (3), (4) и (5) следует, что прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($FK$ и $KM$) плоскости $(FKM)$, а значит, $AD \perp (FKM)$.
7. Прямая $FM$ лежит в плоскости $(FKM)$.
8. Из (6) и (7) следует, что $AD \perp FM$.

Таким образом, отрезок $FM$ является перпендикуляром, опущенным из точки $F$ на прямую $AD$.

Ответ: Чтобы построить перпендикуляр из точки $F$ на прямую $AD$, необходимо сначала в плоскости $ABC$ провести из точки $K$ перпендикуляр $KM$ к прямой $AD$, а затем соединить точки $F$ и $M$. Отрезок $FM$ будет искомым перпендикуляром.

100. Через вершину прямого угла $C$ треугольника $ABC$ к его плоскости проведён перпендикуляр $CK$. Расстояние от точки $K$ до прямой $AB$ равно 13 см. Найдите расстояние от точки $K$ до плоскости треугольника, если его катеты равны 15 см и 20 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты $AC = 15$ см и $BC = 20$ см.

Из вершины $C$ к плоскости треугольника $ABC$ проведен перпендикуляр $CK$. Расстояние от точки $K$ до плоскости треугольника - это и есть длина этого перпендикуляра $CK$.

Расстояние от точки $K$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на прямую $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $M$ на прямой $AB$. Таким образом, $KM \perp AB$ и $KM = 13$ см.

Отрезок $CM$ является проекцией наклонной $KM$ на плоскость треугольника $ABC$. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($KM$) перпендикулярна прямой на плоскости ($AB$), то и ее проекция ($CM$) перпендикулярна этой же прямой. Следовательно, $CM \perp AB$.

Таким образом, $CM$ является высотой прямоугольного треугольника $ABC$, проведенной к гипотенузе $AB$.

1. Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ см.

2. Найдем длину высоты $CM$. Длину высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, можно найти по формуле $h_c = \frac{a \cdot b}{c}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза:
$CM = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{15 \cdot 20}{25} = \frac{300}{25} = 12$ см.

3. Теперь рассмотрим треугольник $KCM$. Поскольку $CK$ перпендикулярен плоскости $ABC$, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $C$. Значит, $CK \perp CM$. Следовательно, треугольник $KCM$ является прямоугольным с прямым углом $C$.

В прямоугольном треугольнике $KCM$ мы знаем гипотенузу $KM = 13$ см и катет $CM = 12$ см. Найдем второй катет $CK$ по теореме Пифагора:
$CK = \sqrt{KM^2 - CM^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см.

Длина отрезка $CK$ и есть искомое расстояние от точки $K$ до плоскости треугольника.

Ответ: 5 см.

101. Через центр $O$ окружности, вписанной в правильный треугольник, к плоскости треугольника проведён перпендикуляр $OD$ длиной 6 см. Точка $D$ удалена от сторон треугольника на расстояние 14 см. Найдите сторону треугольника.

Пусть дан правильный треугольник $ABC$, $O$ — центр вписанной в него окружности. По условию, из точки $O$ к плоскости треугольника проведен перпендикуляр $OD$ длиной 6 см. Это означает, что $OD \perp (ABC)$.

Расстояние от точки $D$ до стороны треугольника — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на эту сторону. Возьмем, к примеру, сторону $AC$. Пусть $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $AC$. Тогда $DK \perp AC$, и по условию длина этого перпендикуляра $DK = 14$ см.

Рассмотрим отрезки $OD$, $OK$ и $DK$.

$OD$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$.

$DK$ — наклонная к плоскости $(ABC)$.

$OK$ — проекция наклонной $DK$ на плоскость $(ABC)$.

Поскольку наклонная $DK$ перпендикулярна прямой $AC$, лежащей в плоскости, то по теореме о трёх перпендикулярах её проекция $OK$ также перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $OK \perp AC$.

Отрезок $OK$ соединяет центр вписанной окружности $O$ с точкой касания $K$ на стороне $AC$. Следовательно, $OK$ является радиусом вписанной окружности. Обозначим его как $r$, то есть $OK = r$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ODK$. Так как $OD \perp (ABC)$, то $OD$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $OK$. Следовательно, $\triangle ODK$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $O$.

По теореме Пифагора для $\triangle ODK$:

$DK^2 = OD^2 + OK^2$

Подставим известные значения:

$14^2 = 6^2 + r^2$

$196 = 36 + r^2$

$r^2 = 196 - 36$

$r^2 = 160$

$r = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ см.

Мы нашли радиус окружности, вписанной в правильный треугольник. Теперь найдём сторону этого треугольника, обозначив её как $a$. Формула, связывающая сторону правильного треугольника и радиус вписанной в него окружности:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Выразим сторону $a$ из этой формулы:

$a = \frac{6r}{\sqrt{3}}$

Подставим найденное значение $r = 4\sqrt{10}$ см:

$a = \frac{6 \cdot 4\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{24\sqrt{10} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{30}}{3} = 8\sqrt{30}$ см.

Ответ: $8\sqrt{30}$ см.

102. Через вершину угла $B$ треугольника $ABC$ проведён перпендикуляр $MB$ к его плоскости (рис. 62). Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $AC$, если $AB = c$, $MB = d$, $\angle BAC = \alpha$.

Рис. 62

Искомое расстояние от точки M до прямой AC — это длина перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую AC. Обозначим основание этого перпендикуляра буквой H. Таким образом, нам нужно найти длину отрезка MH, при условии что $MH \perp AC$.

По условию, отрезок MB перпендикулярен плоскости треугольника ABC ($MB \perp (ABC)$). Отрезок MH является наклонной, проведенной из точки M к прямой AC, лежащей в плоскости (ABC). Отрезок BH является проекцией этой наклонной на плоскость (ABC).

Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и ее проекции. Так как по построению $MH \perp AC$, то из теоремы следует, что и проекция $BH \perp AC$.

Следовательно, BH — это высота треугольника ABC, проведенная из вершины B к стороне AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (поскольку $BH \perp AC$, то $\angle BHA = 90^\circ$). В этом треугольнике известны гипотенуза $AB = c$ и острый угол $\angle BAH = \alpha$. Найдем катет BH, который лежит напротив угла $\alpha$:
$BH = AB \cdot \sin(\angle BAH) = c \cdot \sin(\alpha)$.

Теперь рассмотрим треугольник MBH. Так как MB перпендикулярен плоскости (ABC), он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку B. Значит, $MB \perp BH$, и треугольник MBH является прямоугольным с прямым углом $\angle MBH = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике MBH известны длины двух катетов: $MB = d$ (по условию) и $BH = c \sin(\alpha)$. Искомое расстояние MH является гипотенузой этого треугольника. Применим теорему Пифагора:
$MH^2 = MB^2 + BH^2$
$MH^2 = d^2 + (c \sin(\alpha))^2 = d^2 + c^2 \sin^2(\alpha)$
$MH = \sqrt{d^2 + c^2 \sin^2(\alpha)}$

Ответ: $\sqrt{d^2 + c^2 \sin^2(\alpha)}$

103. Через точку $O$ пересечения диагоналей ромба $ABCD$ к его плоскости проведён перпендикуляр $OF$ длиной $2$ см. Найдите расстояние от точки $F$ до сторон ромба, если $AC = 16$ см, $BD = 12$ см.

Пусть $ABCD$ — ромб, $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Из точки $O$ к плоскости ромба проведен перпендикуляр $OF$.
По условию задачи дано:
Длина перпендикуляра $OF = 2$ см.
Длина диагонали $AC = 16$ см.
Длина диагонали $BD = 12$ см.
Нужно найти расстояние от точки $F$ до сторон ромба.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. В силу симметрии ромба, расстояния от точки $F$ до всех его сторон будут одинаковы. Найдем расстояние от точки $F$ до стороны $AB$.

Проведем из точки $F$ перпендикуляр $FH$ к стороне $AB$. Длина отрезка $FH$ и есть искомое расстояние.

Рассмотрим отрезки $OF$, $OH$ и $FH$.
$OF$ — перпендикуляр к плоскости ромба $(ABC)$.
$FH$ — наклонная к плоскости $(ABC)$.
$OH$ — проекция наклонной $FH$ на плоскость $(ABC)$.
По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $FH$ перпендикулярна прямой $AB$ в плоскости, то и ее проекция $OH$ перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $OH \perp AB$.
Это означает, что $OH$ является расстоянием от центра ромба $O$ до стороны $AB$.

Так как $OF \perp (ABC)$, то $OF$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$. Следовательно, $OF \perp OH$. Таким образом, треугольник $\triangle FOH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. По теореме Пифагора, искомое расстояние $FH$ можно найти по формуле: $FH = \sqrt{OF^2 + OH^2}$.

1. Найдем длину $OH$.

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и взаимно перпендикулярны. Поэтому $\triangle AOB$ — прямоугольный, и его катеты равны:
$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{16}{2} = 8$ см.
$BO = \frac{1}{2}BD = \frac{12}{2} = 6$ см.
По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AB$ (сторону ромба):
$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.

$OH$ является высотой в прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$, проведенной к гипотенузе $AB$. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами:
$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO$
$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH$
Приравняв правые части, получим:
$AO \cdot BO = AB \cdot OH$
Отсюда выразим $OH$:
$OH = \frac{AO \cdot BO}{AB} = \frac{8 \cdot 6}{10} = \frac{48}{10} = 4,8$ см.

2. Найдем расстояние $FH$.

Теперь, зная $OF = 2$ см и $OH = 4,8$ см, можем найти гипотенузу $FH$ в прямоугольном треугольнике $\triangle FOH$:
$FH = \sqrt{OF^2 + OH^2} = \sqrt{2^2 + (4,8)^2} = \sqrt{4 + 23,04} = \sqrt{27,04}$
$FH = 5,2$ см.

Расстояние от точки $F$ до сторон ромба составляет 5,2 см.
Ответ: 5,2 см.

104. В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $O$. Через точку $O$ проведена прямая $FO$, перпендикулярная плоскости $ABC$. Точка $F$ удалена от этой плоскости на 4 см. Найдите расстояние от точки $F$ до сторон треугольника, если $AB = 15$ см, $AC = 12$ см, $BC = 9$ см.

Обозначим расстояние от точки $F$ до сторон треугольника $ABC$ как $d$. Пусть $K, L, M$ — точки касания вписанной окружности со сторонами $AB, BC, AC$ соответственно. Центр вписанной окружности $O$ равноудален от всех сторон треугольника. Расстояние от точки $O$ до каждой стороны равно радиусу вписанной окружности $r$. Таким образом, $OK = OL = OM = r$. Также радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам: $OK \perp AB$, $OL \perp BC$, $OM \perp AC$.

По условию, прямая $FO$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Это означает, что отрезок $FO$ является перпендикуляром к плоскости, и его длина равна расстоянию от точки $F$ до плоскости, то есть $FO = 4$ см.

Расстояние от точки $F$ до стороны, например $AB$, — это длина перпендикуляра, опущенного из $F$ на $AB$. Обозначим его $FK$.

Рассмотрим отрезки $FO$ (перпендикуляр к плоскости $ABC$), $FK$ (наклонная к плоскости) и $OK$ (проекция наклонной $FK$ на плоскость $ABC$). Так как проекция $OK$ перпендикулярна прямой $AB$ в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $FK$ перпендикулярна прямой $AB$.

Следовательно, искомое расстояние $d$ равно длине отрезка $FK$. Так как $FO \perp (ABC)$, то $FO$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через $O$, в частности $FO \perp OK$. Это значит, что треугольник $FOK$ — прямоугольный.

По теореме Пифагора для треугольника $FOK$:
$FK^2 = FO^2 + OK^2$.
Мы знаем $FO = 4$ см. Нам нужно найти $OK = r$.

Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем полупериметр $p$ треугольника $ABC$:
Стороны треугольника: $a = BC = 9$ см, $b = AC = 12$ см, $c = AB = 15$ см.
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{9+12+15}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

2. Найдем площадь $S$ треугольника $ABC$:
Для нахождения площади можно использовать формулу Герона, но сначала проверим, не является ли треугольник прямоугольным, применив обратную теорему Пифагора:
$a^2 + b^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.
$c^2 = 15^2 = 225$.
Так как $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным с катетами $AC$ и $BC$ и гипотенузой $AB$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54$ см$^2$.

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{54}{18} = 3$ см. Следовательно, $OK = 3$ см.

4. Найдем расстояние $FK$:
Теперь мы можем найти длину гипотенузы $FK$ в прямоугольном треугольнике $FOK$:
$FK = \sqrt{FO^2 + OK^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Так как расстояния от центра вписанной окружности $O$ до всех сторон треугольника одинаковы и равны $r=3$ см, а длина перпендикуляра $FO$ постоянна, то расстояние от точки $F$ до всех трех сторон треугольника ($AB, BC, AC$) будет одинаковым.

Ответ: 5 см.