Номер 98, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Теорема о трёх перпендикулярах

98. На рисунке 60 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что прямая $CO$ перпендикулярна прямой $A_1B$.

Рис. 60

Утверждение, приведённое в задаче — "прямая CO перпендикулярна прямой A₁B" — является неверным. Чтобы доказать это, воспользуемся координатным методом.

Введём систему координат. Пусть вершина A куба будет в начале координат (0,0,0), ребро AB лежит на оси Ox, ребро AD — на оси Oy, а ребро AA₁ — на оси Oz. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Тогда координаты вершин будут следующими:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(a, 0, 0)$
• $C(a, a, 0)$
• $A_1(0, 0, a)$

Точка O является точкой пересечения диагоналей грани $AA_1B_1B$, то есть серединой отрезка $A_1B$. Найдём её координаты:

$O = \left( \frac{0+a}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{a+0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2} \right)$

Теперь найдём векторы $\vec{CO}$ и $\vec{A_1B}$:

$\vec{CO} = \{ O_x - C_x; O_y - C_y; O_z - C_z \} = \{ \frac{a}{2} - a; 0 - a; \frac{a}{2} - 0 \} = \{ -\frac{a}{2}; -a; \frac{a}{2} \}$

$\vec{A_1B} = \{ B_x - A_{1x}; B_y - A_{1y}; B_z - A_{1z} \} = \{ a - 0; 0 - 0; 0 - a \} = \{ a; 0; -a \}$

Для того чтобы прямые были перпендикулярны, скалярное произведение их направляющих векторов должно быть равно нулю. Проверим это условие:

$\vec{CO} \cdot \vec{A_1B} = (-\frac{a}{2}) \cdot a + (-a) \cdot 0 + (\frac{a}{2}) \cdot (-a) = -\frac{a^2}{2} + 0 - \frac{a^2}{2} = -a^2$

Так как $a \ne 0$, то $-a^2 \ne 0$. Скалярное произведение не равно нулю, следовательно, прямые CO и A₁B не перпендикулярны.

Примечание: Распространённая ошибка в геометрическом доказательстве этого неверного утверждения заключается в неверном применении теоремы о трёх перпендикулярах, где ошибочно предполагается, что проекция $BO$ перпендикулярна прямой $A_1B$. На самом деле, точки $B$, $O$ и $A_1$ лежат на одной прямой, поэтому прямая $BO$ совпадает с прямой $A_1B$ и не может быть ей перпендикулярна.

Ответ: Утверждение о перпендикулярности прямых CO и A₁B неверно.

Вероятнее всего, в условии задачи имеется опечатка. Верным является утверждение $DO \perp A_1B$ (или $C_1O \perp A_1B$). Докажем утверждение $DO \perp A_1B$, используя теорему о трёх перпендикулярах, как и предполагает тема раздела.

Доказательство того, что $DO \perp A_1B$:

1. Рассмотрим плоскость грани $AA_1B_1B$. Прямая $A_1B$ лежит в этой плоскости.

2. Ребро $AD$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости $AA_1B_1B$: $AD \perp AB$ (как стороны квадрата $ABCD$) и $AD \perp AA_1$ (так как это рёбра куба, выходящие из одной вершины). Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости $AA_1B_1B$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Рассмотрим наклонную $DO$ к плоскости $AA_1B_1B$. Так как $AD \perp (AA_1B_1B)$, то отрезок $AO$ является проекцией наклонной $DO$ на эту плоскость.

4. В грани $AA_1B_1B$, которая является квадратом, диагонали $A_1B$ и $AB_1$ перпендикулярны. Точка $O$ — их точка пересечения. Прямая $AO$ является частью диагонали $AB_1$. Следовательно, $AO \perp A_1B$.

5. Согласно теореме о трёх перпендикулярах: если проекция наклонной ($AO$) на плоскость перпендикулярна некоторой прямой ($A_1B$), лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная ($DO$) перпендикулярна этой прямой.

Таким образом, $DO \perp A_1B$.

Ответ: что и требовалось доказать.