Номер 105, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. В трапеции $ABCD$ известно, что $AB \perp AD$, $AB \perp BC$, $BC = 20$ см, $AD = 30$ см, $AB$ на 2 см меньше $CD$. Через центр $O$ окружности, вписанной в эту трапецию, проведён перпендикуляр $MO$ к плоскости трапеции, $MO = 5$ см. Найдите расстояние от точки $M$ до сторон трапеции.

По условию, трапеция $ABCD$ является прямоугольной, так как $AB \perp AD$ и $AB \perp BC$. Это означает, что $AB$ является высотой трапеции.

Так как в трапецию вписана окружность, то суммы ее противолежащих сторон равны:$AB + CD = BC + AD$Подставим известные значения:$AB + CD = 20 + 30 = 50$ см.

Из условия также известно, что $AB$ на 2 см меньше $CD$, то есть $AB = CD - 2$. Подставим это выражение в предыдущее равенство:$(CD - 2) + CD = 50$$2CD - 2 = 50$$2CD = 52$$CD = 26$ см.

Теперь найдем длину стороны $AB$:$AB = 26 - 2 = 24$ см.

Высота прямоугольной трапеции $h$ равна ее боковой стороне, перпендикулярной основаниям. В данном случае $h = AB = 24$ см. Диаметр вписанной окружности в трапецию равен ее высоте. Следовательно, радиус $r$ вписанной окружности равен:$r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Центр вписанной окружности $O$ равноудален от всех сторон трапеции, и это расстояние равно радиусу $r$. Таким образом, расстояние от точки $O$ до каждой из сторон $AB, BC, CD, AD$ равно 12 см.

По условию, к плоскости трапеции проведен перпендикуляр $MO$, где $O$ - центр вписанной окружности, и $MO = 5$ см. Расстояние от точки $M$ до любой стороны трапеции - это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на эту сторону.

Рассмотрим расстояние от точки $M$ до одной из сторон, например, до стороны $AD$. Пусть $OK$ - перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на сторону $AD$. Тогда $OK = r = 12$ см. Отрезок $MK$ является наклонной к плоскости трапеции, а $OK$ - ее проекцией. По теореме о трех перпендикулярах, так как $OK \perp AD$, то и $MK \perp AD$. Следовательно, длина отрезка $MK$ и есть искомое расстояние от точки $M$ до стороны $AD$.

Треугольник $MOK$ является прямоугольным, так как $MO$ перпендикулярен плоскости трапеции, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $OK$. По теореме Пифагора:$MK^2 = MO^2 + OK^2$$MK^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$MK = \sqrt{169} = 13$ см.

Поскольку расстояние от центра $O$ до всех сторон трапеции одинаково и равно радиусу $r=12$ см, расстояние от точки $M$ до каждой из сторон трапеции также будет одинаковым и равным 13 см.

Ответ: расстояние от точки $M$ до каждой из сторон трапеции равно 13 см.