Номер 108, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

108. Через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая $BF$, перпендикулярная плоскости прямоугольника. Расстояние от точки $F$ до прямой $AD$ равно $\sqrt{106}$ см, а до прямой $CD$ — $15$ см, $AB = 5$ см. Найдите сторону $BC$ прямоугольника.

Поскольку прямая $BF$ перпендикулярна плоскости прямоугольника $ABCD$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. Следовательно, $BF \perp AB$ и $BF \perp BC$. Это означает, что треугольники $\triangle FBA$ и $\triangle FBC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $B$.

1. Нахождение длины перпендикуляра BF

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра от точки к прямой. Чтобы найти расстояние от точки $F$ до прямой $AD$, воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

Отрезок $BF$ — перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$. Отрезок $FA$ — наклонная к этой плоскости, а отрезок $AB$ — ее проекция. Так как $ABCD$ — прямоугольник, его сторона $AB$ перпендикулярна стороне $AD$ ($AB \perp AD$). Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AB$) перпендикулярна некоторой прямой на плоскости ($AD$), то и сама наклонная ($FA$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $FA \perp AD$.

Это означает, что длина отрезка $FA$ и есть расстояние от точки $F$ до прямой $AD$. По условию, $FA = \sqrt{106}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle FBA$. По теореме Пифагора:

$FA^2 = FB^2 + AB^2$

Подставим известные значения $FA = \sqrt{106}$ см и $AB = 5$ см:

$(\sqrt{106})^2 = FB^2 + 5^2$

$106 = FB^2 + 25$

$FB^2 = 106 - 25 = 81$

$FB = \sqrt{81} = 9$ см.

2. Нахождение стороны BC

Теперь найдем расстояние от точки $F$ до прямой $CD$. Отрезок $FC$ — наклонная к плоскости $(ABCD)$, а отрезок $BC$ — ее проекция. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $BC \perp CD$. По теореме о трех перпендикулярах, $FC \perp CD$.

Следовательно, длина отрезка $FC$ является расстоянием от точки $F$ до прямой $CD$. По условию, $FC = 15$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle FBC$. По теореме Пифагора:

$FC^2 = FB^2 + BC^2$

Подставим известные значения $FC = 15$ см и найденное значение $FB = 9$ см:

$15^2 = 9^2 + BC^2$

$225 = 81 + BC^2$

$BC^2 = 225 - 81 = 144$

$BC = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.